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1、1 八年级数学上册复习提纲 第 11 章数的开方 11.1 平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 （也叫做二次方根） 即：若x 2= a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零 的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质： （1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2） 零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a 0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方
2、根 a（读作：正负根号a） ；算术 平方根 a（读作根号a） 即： “a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根； “a”表示a的算 术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。 负数没有平方根， 被开方数a必须为非负数， 即： a0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已 知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 （也叫做三次方根） 即：若x 3= a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为 负； （3）零的立方根是零。 3、
3、立方根的记号： 3 a（读作：三次根号a） ，a称为被开方数，“3”称为根 指数。 3 a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指 数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、 “a” 、 “a” 、 “ 3 a”的实质意义：“a”问：哪个数的平方是a； “a”问：哪个非负数的平方是a； “ 3 a”问：哪个数的立方是a。 2、注意a和 3 a中的a的取值范围的应用。 如：若3x有意义，则x取值范围是。 （x-30，x3） 2 （填：x3） 若 32009 x有意义，则x取值范围是。 （填：全体实数） 3、 33 aa。如
4、：327 3 ，327 3 ， 33 2727 4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越 大。 如：256710等。23和 32怎么比较大小？ （你知道吗？不知 道就问！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ） 5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数 平方根”作参照。 如：确定7的取值范围。479，273。 6、 几个常见的算数平方根的值： 414.12，732.13，236.25，449.26， 646.27。 八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义：形如a（a0）的式子，叫做二次根式。 2、二次根式的性质： (1)baab?（a0，b0）
5、 ；(2) b a b a （a0， b0） ； (3) aa 2 )(（a0） ； (4) | 2 aa 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：abba ?（a0，b0） ； （2）除法： b a b a （a0，b0） 11.2 实数与数轴 一、无理数 1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数： （1）开方开不尽的数。如： 256710，2532617102，等。 （2） “”类的数。如：， 3 ， 1 ，2等。 （3）无限不循环小数。如： 2.1010010001，-0.234242242224 ，等 二、实数 1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。 2、与实数有关的概
6、念： （1）相反数：实数a的相反数为 -a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。 （2）倒数：非零实数a的倒数为 a 1 （a0） 。若实数a、b互为倒数，则 ab=1。 （3）绝对值：实数a的绝对值为： )0( )0( 0 )0( | aa a aa a 3 3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类： （1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。 （2）按照定义分为： 5、几个“非负数”： （1）a 20； （2）| a|0； （3）a0。 6、实数与数轴上的点是一一对应关系。 第 12 章整式的乘除 12.1 幂的运算 一、同底数幂的乘法 1、法
7、则：a m a nap =a m+n+p+ （ m、n、p均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如： 234=2+3+4=9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25； (2) 3( 2) 4=( 2) 3+4=( 2) 7；( a+b) 3( a+b) 4( a+b)= (a+b) 3+4+1=( a+b) 8 （2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。 （3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。 二、幂的乘方 1、法则： (a m ) n=amn （m、n均为正整数）。推广： (a
8、 m ) nps=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：( 2)3=23=6；( 2) 34=( 2) 34=( 2) 12；( a-b) 24= ( a-b) 24=( a-b) 8 （2）运用时注意符号的变化。 （3）注意该法则的逆应用，即：a mn = (a m ) n，如： a 15= ( a 3)5= ( a 5)3 三、积的乘方 1、法则： (ab) n=anbn（ n为正整数）。推广： (acde) n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。 2、注意事项： （
9、1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(2) 3=222=42；( 23) 2=( 2) 2( 3) 2=23=6； (-2abc) 3=(-2)3a3b3c3=- 8a 3b3c3；( a+b)(a-b) 2=( a+b) 2( a-b) 2 （2）运用时注意符号的变化。 （3）注意该法则的逆应用，即：a nbn =( ab) n；如：2333= (2 3)3=63， (x+y) 2( x-y) 2=( x+y)(x-y) 2 四、同底数幂的除法 1、法则：a m a n=am-n （m、n均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、注意事项： 4 （1）
10、a可以是实数，也可以是代数式等。 如： 43=4-3 = ；(-2) 5(-2)3=(-2)5-3 =(-2) 2=4； (2) 6( 2) 4=( 2) 6-4 =(2) 2=2；( a+b) 16( a+b) 14= ( a+b) 16-14 =(a+b) 2= a 2+ 2ab +b 2 （2）注意a0 这个条件。 （3） 注意该法则的逆应用， 即：a m-n =a m a n； 如： a x-y =a xay， ( x+y) 2a-3 =(x+y) 2a (x+y) 3 12.2 整式的乘法 一、单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂 相
11、乘，多余的字母照搬到最后结果中。 如：(-5a 2b2)(-4 b 2c)(- 2 3 ab)=(-5)(-4) (- 2 3 ) (a 2 a)(b 2 b 2) c =-30a 3b4c 二、单项式与多项式相乘 法则： （乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得 的积相加。 如： 22 ( 3)(21)xxx(-3x 2)(- x 2)+(-3 x 2)2 x一(-3x 2) 1= 432 363xxx 三、多项式与多项式相乘 法则： （1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将 所得的积相加。 如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2)
12、 把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的 每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。 如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb 12.3 乘法公式 一、两数和乘以这两数的差 1、公式： (a+b)(a-b)=a 2- b 2；名称：平方差公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(10+9)(10-9)=10 2-92=100-81=19；(2 xy+a)(2xy-a)=(2xy) 2- a 2=4 x 2y2- a 2； (a+b+)( a+b -)=(2xy) 2-
13、a 2=4 x 2y2- a 2； （2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才 能用平方差公式。 （3）注意公式的来源还是“多项式多项式”。 二、完全平方公式 1、公式： (ab) 2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 5 如： (2+3) 2=( 2) 2 +223+3 2=2+6 2+9=11+62； (mn-a) 2=( mn) 2 -2mna+ a 2= m2n2-2 mna+ a 2 ； ( a+b -) 2=( a+b) 2-2( a+b)+ 2= a2+2 a b+b 2-2 a-b + 2
14、； （2）注意公式运用时的对位“套用” ； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号” 。 3、补充公式： (a+ b+ c) 2=a2+c2+b2+2a b+ 2bc+2ca 特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二 套三计算”。 12.4 整式的除法 一、单项式除以单项式 法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只 在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 如：-21a 2b3c3ab =(-21 3)a 2-1 b 3-1 c =-7ab 2c （2x 2y）3 （-7xy2）14x4y3 =8x 6y3 （-7xy2）14
15、x4y3=8（-7） x6+1 y 3+2 14x 4y3 =（-5614） x 7-4y5-3=-4x3y2 5 （2a+b ） 4 （2a+b ）2= （51） （2a+b ）4-2=5 （2a+bz2=5 （4a2+4ab+b2） =20a2+20ab+5b2 二、多项式除以单项式 法则： （乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得 的商相加。 如：(21x 4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2 (-7x 2y)=-3x2y2+5xy-y 4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=
16、4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y) (2x-y)=4y-2x 整式的运算顺序：先乘方（开方） ，再乘除，最后加减，括号优先。 12.5 因式分解 一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分 解。 （分解因式） 因式分解与整式乘法互为逆运算 二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因 式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 具体步骤：（1） “看” 。观察各项是否有公因式； （2） “隔” 。把每项的公因 式“隔离”出来；（3） “提” 。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项 式化为两个因式的积。 (a-b) 2n =(b-a) 2n (n 为正整数 ) ；(a-b) 2n+1 =-(b-a) 2n+1 (n 为正整数 )； 如：8a 2b-4ab+2a =2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a 2+ 25 a=-5 6 aa+5a5=-5 a(a+5) (
