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1、第2课时 切线的判定与性质【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度】体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.一、情境导入,初步认识情境1 下雨天,小孩子总喜欢转动雨伞,你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出,水珠是顺着什么方向飞出的?情境2 用机器打磨铁制零件时,铁屑是沿什么方向飞出的
2、?情境3用一根细线系一个小球,当你快速转动细线时,小球运动形成一个圆,突然这个小球脱落,沿着圆的边缘飞出去,你知道小球会顺着什么方向飞出吗?【教学说明】通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型.二、思考探究,获取新知1.切线的判定定理思考1 如图,在O中,经过半径OA的外端点A,作直线lOA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和O有什么位置关系?分析:直线lOA,而点A是O的半径OA的外端点.直线l与O只有一个交点,并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA,即是O的半径.直线l与O相切.【归纳总结】切线的判定定理:经过半径的外端(点)并且垂直于这条半径的直
3、线是圆的切线.【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径,那么直线和圆相切”,引导学生得出结论.在切线的判定定理中,“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.试一试 (1)已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?(只能作一条直线)(2)下图中的直线是圆的切线吗?(都不是圆的切线)2.切线的性质定理思考2 已知直线l是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?为什么?(学生讨论,由学生代表回答)教师点评:由于l是O的切线,点A为切点,圆心O到l的距离等于半径,所以OA就是圆心O到直线l的距离.OA直线l.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.符号
4、语言:直线l是O的切线,切点为A.OA直线l.【教学说明】这个问题在引导学生分析时,直接证明比较困难,我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直,过点O作OMl,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OMOA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,直线l与O就相交了,而这与直线l与O相切矛盾.因此,OA垂直于直线l.三、典例精析,掌握新知例1 教材98页例1.(要证明一条直线是圆的切线,必须符合两个条件,即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.例2 (1)如图(1),AB是O的弦,PA是O的切线,A是切点,PAB=30,求AOB.(2)如图(2),AB是O的直径,DC切O于点C,连接C
5、A、CB,AB=12,ACD=30,求AC的长.解:(1)OAB为等腰三角形,OAB=OBA.又PA是O的切线,由切线的性质可知:PAOA,OAP=90,OAB=OAP-BAP=90-30=60,AOB=180-2OAB=180-260=60.(2)连接OC,CD是O的切线,OCCD,而ACD=30,.OCA=60,OAC是等边三角形,AC=OA=r=1/2AB=1/212=6.【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用,要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键(紧扣两点).例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时,常见辅助线有:(1)已知直线是圆的切线时,通常连接过切点的半径,则这
6、条半径垂直于切线.(2)要证明一条直线是圆的切线:若直线过圆上某一点,则连接这点和圆心得到辅助半径,再证这条半径与直线垂直.即:已知公共点,连半径证垂直.若直线与圆的公共点不确定,则过圆心作直线的垂线段,证明这条垂线段长等于圆的半径长.即:未知公共点,作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.四、运用新知,深化理解1.完成教材第98页练习1、2.2.如图,已知PA是BAC的平分线,AB是O的切线,切点为E,求证:AC是O的切线.【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成,加深对切线的判定及性质的理解掌握;第2题是对切线的性质与判定的综合应用,教师可先让学生独立思考,再加以提示.最后,师生共同完成
7、解题.【答案】1.(1)AT=AB,B=T=45,A=180-B-T=90.又AB是O的直径,AT是O的切线.(2)l1l2,理由如下:AB是O的直径,且l1、l2是O的切线,l1AB,l2AB,l1l2.2.过O点作OFAC于点F,连接OE.则OEAE.OEA=OFA=90,又PA是BAC的平分线,OAE=OAF,AO=AO,OAFOAE,OF=OE.又OE是半径,OF也为半径长.AC是O的切线.五、师生互动,课堂小结1.让学生回顾本堂课的两个知识点.2.试着让学生自己总结切线的证明方法,然后相互交流.【教学说明】在这一环节,教师要尽可能地让学生自主总结与交流,然后适当地予以点评和补充.1.布置作业:从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.本节课从常见的生活情况入手,引入切线的概念,能激发学生的求知欲,接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线,又从另一侧面利用反证法,证明了切线的性质定理,这样,既证明了定理又复习了反证法.