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1、圆锥曲线 1已知圆 M：x 2(y2)21，直线 l：y1，动圆 P 与圆 M 相外切，且与直线 l 相切设动圆圆心P 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程； (2)若点 A，B 是 E 上的两个动点， O 为坐标原点，且O A O B 16，求证： 直线 AB 恒过定点 (1)解设 P(x，y)，则x 2 y22(y1)1，x28y.E 的方程为 x28y. (2)证明设直线 AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2) 将直线 AB 的方程代入 x28y 中得 x28kx8b0，所以 x1x28k，x1x2 8b. O A O B x1x2y1y2x1x2x 2 1x 2 2 64
2、8bb216，b4，所以直线AB 恒 过定点 (0,4) 2如图，已知点 A(1， 2)是离心率为 2 2 的椭圆 C： y 2 a 2 x 2 b 21(ab0)上的一点， 斜率为2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点互不重合 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求证：直线 AB、AD 的斜率之和为定值 (1)解由题意，可得e c a 2 2 ，将(1，2)代入 y 2 a 2 x 2 b 21，得 2 a 2 1 b 21，又 a 2b2c2， 解得 a2，b2，c2， 所以椭圆 C 的方程为 y 2 4 x 2 2 1. (2)证明设直线 BD 的方程为 y2x
3、m， 又 A、 B、 D 三点不重合，所以 m0. 设 D(x1，y1)、B(x2，y2)， 由 y2xm 2x 2y24 得，4x 22 2mxm240， 所以 8m2640， 2 2m2 2， x1x2 2 2 m，x1x2m 24 4 . 设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD， 则kAD kAB y12 x11 y22 x21 2x1m2 x11 2x2m2 x21 22 m x1x22 x1x2x1x21(*) 将式代入 (*)， 得 2 2m 2 2 m2 m 24 4 2 2 m1 2 22 20， 所以 kADkAB0，即直线 AB、AD 的斜率之和为定值0. 3椭圆
4、 M：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 2 2 ，且经过点 P(1， 2 2 )过坐标原点 的直线 l1与 l2均不在坐标轴上， l1与椭圆 M 交于 A，C 两点，l2与椭圆 M 交于 B，D 两点 (1)求椭圆 M 的方程； (2)若平行四边形 ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值 解(1)依题意有 c 2 2 a， 1 a 2 1 2b 21， 又因为 a2b2c2，所以 a 22， b 21， 故椭圆 M 的方程为 x 2 2 y21. (2)设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x，A(xA，yA)，C(xC，yC) 联立 x 2 2 y 21， y
5、k1x， 得方程 (2k211)x220，x2Ax2C 2 2k 2 11， 故|OA|OC|1k 2 1 2 2k 2 11. 同理， |OB|OD|1k22 2 2k 2 21. 又因为 ACBD，所以 |OB|OD|1 1 k1 2 2 2 1 k1 21，其中 k 10. 从而菱形 ABCD 的面积 S2|OA| |OB| 21k 2 1 2 2k 2 11 1 1 k1 2 2 2 1 k1 21， 整理得 S4 1 2 1 k1 1 k1 2 ，其中 k10. 故当 k11 或1 时， 菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 8 3. 4已知椭圆 C 的中心为坐标原点O，一个长轴端
6、点为 (0,2)，短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P(0， m)， 与椭圆 C 交于相异两点 A， B，且AP 2PB . (1)求椭圆方程； (2)求 m的取值范围 解(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ， 设椭圆方程为 y 2 a 2x 2 b 21(ab0)， 由题意知 a2，bc，又 a2b2c2，则 b2， 所以椭圆方程为 y 2 4 x 2 2 1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线 l 的斜率存在， 设其方程为 ykxm， 与椭圆方程联立， 即 y 22x24， ykxm， 则(2k 2)x22mkxm240， (2mk) 24(2k2)(m24)0， 由根与系数的关系知 x1x2 2mk 2k 2， x1 x2m 24 2k 2. 又AP 2PB ，即有 (x1，my1)2(x2，y2m) x12x2， x1x2x2， x1x22x 2 2. m 24 2k 22 2mk 2k 2 2，整理得 (9m24)k282m2， 又 9m240 时不成立， k282m 2 9m 240， 得4 9m 24，此时 0. m 的取值范围为2， 2 3 2 3，2 .
