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1、第 1 页 2012 年北京市丰台区高考模试题（数学理）-B 版 第 I 卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项 （题 1） 1设集合 |1Pxx ， 2 |0Qxxx ，则下列结论正确的是（） APQBPQRCPQDQP 【解析】 C； (1,)P ， (, 0)(1,)Q （题 2） 2函数 sincosyxx的最小值和最小正周期分别是（ ） A 2 ,2 B 2 ,2 C 2 , D 2 , 【解析】 A； 2 sin 4 yx （题 3） 3设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ， 24
2、 6aa ，则 5 S 等于（） A 10 B12 C15 D30 【解析】 C； 243 62aaa ，于是 3 3a ， 53 515Sa （题 4） 4甲乙两名运动员在某项测试中的8 次成绩如茎叶图所示， 1x，2x分别表示甲乙两名运动员这项测试成 绩的平均数， 1 s， 2 s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A 12 12 ,xxss B 12 12 ,xxss C 12 12 ,xxss D 12 12 ,xxss 32 7553 87 12 4556 98 2 1 0 乙甲 【解析】 B； 1215xx ， 222222222222 12 11 (761167
3、 )(872278 ) 88 ss （题 5） 5阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（） A 13 21 B 21 13 C 8 13 D 13 8 第 2 页 输出 y x y = z x = y z20 z = x+y x=1, y=1 否 是 结束 开始 【解析】 D； 1,1 ,220 xyz；1,2,320 xyz；，8,13 ,2120 xyz，故输出 13 8 （题 6） 6 某会议室第一排共有8 个座位，现有 3 人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（） A12B16 C24 D32 【解析】 C； 将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有 3 4
4、 A24种排法 （题 7） 7已知平面区域 1 |1 (,)0, (,) 0 1 yx yx xyyMxy y x ，向区域内随机投一点P，点P落 在区域M内的概率为（） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解析】 C； 如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为M，由面积比知 1 2 P 1 O - 11 y x （题 8） 8如图，平面平面，=直线 l ， ,AC 是内不同的两点， ,BD 是内不同的两点，且 ,ABCD 直线 l，,MN 分别是线段 ,A BCD 的中点下列判断正确的是（） A当 |2 |CDAB 时， ,MN 两点不可能重合 B ,M
5、N 两点可能重合，但此时直线 AC 与l不可能相交 C当 A B与CD相交，直线AC 平行于 l时，直线BD可以与l相交 D当 ,ABC D 是异面直线时，直线 M N 可能与 l平行 第 3 页 l NM D C B A 【解析】 B； 若,MN两点重合，由,A MM BCMM D知ACB D，从而AC 平面，故有ACl，故 B 正确 第 II 卷（非选择题共 110分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 （题 9） 9若 (2i)iiab ，其中 ,abR ，i为虚数单位，则 ab 【解析】 3； 2iiab1,2ab （题 10） 10已知|2 a，|3b，,ab
6、的夹角为60 ，则| 2|ab 【解析】13； 22 2 (2)44co s6013abaabb （题 11） 11将极坐标方程2 cos化成直角坐标方程为 【解析】 22 20 xyx ； 222 2cos2xyx （题 12） 12如图，P C切O于点C，割线PA B经过圆心O，弦CDAB于点E已知O的半径为3，2P A， 则PCO E A D P E O C B 【解析】 9 4 , 5 ； 2 2(26)164P CPAPBPC； 连 结O C， 知OCPC， 于 是5PO， 2 2 39 235 COOEO PP E 第 4 页 B C O E P D A （题 13） 13已知双曲
7、线 2 2 1 3 y x 的左顶点为 1 A ，右焦点为 2 F ， P 为双曲线右支上一点，则 12 P APF最小值 为 【解析】2； 12 (1,0) ,(2 , 0)AF ，设 (,) (1)Pxyx ， 22 12 (1,)(2,)2PAP Fxyxyxxy， 又 2 2 1 3 y x ，故 22 3(1)yx ， 于是 2 2 12 11 4545 816 P APFxxx，当1x时，取到最小值2 （题 14） 14设函数 ()fx 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 ()xMMD ，有 xlD，且 ()()fxlfx ，则称 ()fx 为 M 上的 l高调函数
8、 如果定义域为1,)的函数 2 ()fxx 为 1,)上的m 高调函数，那么实数 m的取值范围是 如果定义域为R的函数()fx是奇函数， 当0 x 时， 22 ()|fxxaa ，且 ()fx 为R上的 4 高调函数， 那 么实数a的取值范围是 【解析】2 ,)；1, 1； 2 ()(1)fxxx 的图象如下图左所示，要使得(1)(1)1fmf，有2m ；1x 时，恒 有(2)()fxfx，故2m 即可； 由()fx为奇函数及0 x 时的解析式知()fx的图象如下图右所示， 222 (3)()faafa ，由 2222 (4)()(3)fafaafa ，故 22 43aa+ ，从而 2 1a
9、， 又 2 1a 时，恒有 (4)()fxfx ，故 2 1a 即可 - a2 a2 - a2 a2 O y x 1O- 1 y x 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 （题 15） 15 （本小题满分12 分） 已知为锐角，且 tan2 4 第 5 页 求tan的值； 求 sin 2co ssin co s 2 的值 【解析】 1tan tan 41tan ， 所以 1tan 2 , 1tan22 tan 1tan ，所以 1 tan 3 2 sin 2co ssin2 sinco ssin co s2co s 2 2 sin(2 cos1)
10、sinco s2 sin co s 2co s 2 因为 1 tan 3 ，所以cos3 sin，又 22 sincos1， 所以 2 1 sin 10 ， 又为锐角，所以 10 sin 10 ， 所以 sin 2cossin10 co s210 （题 16） 16 （本小题满分13） 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核， 否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 5 6 、 4 5 、 3 4 、 1 3 ，且各轮问题 能否正确回答互不影响 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； 求该选手至多进入第三轮考核的概率
11、； 该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望 【解析】 设事件(1,2 , 3,4) i Ai表示 “ 该选手能正确回答第i轮问题 ” ， 由已知 1234 5431 (),(),(),() 6543 PAPAPAPA ， 设事件B表示 “ 该选手进入第三轮被淘汰” ， 则 33 1212 ()()()()()PBPA AAPAPAPA 5431 1 6546 设事件C表示 “ 该选手至多进入第三轮考核” ， 则123 112 ()()P CPAA AA A A 123 112 1515431 ()()()(1) 6656542 PAPA APA AA ； X的可
12、能取值为1，2，3，4， 1 1 (1)() 6 PXPA ， 2 1 541 (2)()(1) 656 PXPA A ， 3 12 5431 (3)()(1) 6546 PXPA A A， 123 5431 (4)() 6542 PXPA A A ， 第 6 页 所以，X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 6 1 2 1111 ()12343 6662 EX （题 17） 17 （本小题满分14 分） 在四棱锥PAB C D中，侧面PC D底面A BCD，PDCD，E为PC中点，底面ABC D是直角梯形， ABCD ， AD C=90 ，1ABADPD ， 2CD 求证：
13、BE 平面P AD； 求证：BC平面P BD； 设Q为侧棱P C上一点，P QPC，试确定的值，使得二面角QBDP为 45 P E DC BA 【解析】 取P D的中点F，连结,EFAF， 因为E为P C中点，所以E FCD，且 1 1, 2 E FCD 在梯形ABCD中，ABCD，1A B， 所以E FAB，EFAB，四边形A B EF为平行四边形， 所以BEAF， B E平面PAD，AF平面P AD， 所以B E 平面P A D 平面P CD底面AB CD，PDCD，所以P D平面A B CD，所以PDAD 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则(1 , 0 , 0)A，(1, 1
14、,0)B，(0 , 2 ,0)C，(0 ,0 , 1)P (1, 1,0) ,(1, 1,0)D BB C 所以0 ,B CD BB CD B 又由P D平面A BCD，可得PDBC， 所以B C平面P B D F z y x Q A B C D E P 平面 PBD 的法向量为 (1, 1,0)B C ， (0 ,2 ,1) ,(0 , 1)PCP QP C ， 第 7 页 所以(0 ,2, 1)Q， 设平面Q BD的法向量为(,)nabc， 由0nD B，0nD Q，得 0 2(1)0 ab bc ， 所以 2 1, 1 , 1 n， 所以 2 22 co s45 2|2 22() 1 n
15、B C nB C ， 注意到(0 , 1)，得21 （题 18） 18 （本小题满分14 分） 椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，长轴端点与短轴端点间的距离为5 求椭圆C的方程； 设过点D(0 ,4)的直线l与椭圆C交于,EF两点，O为坐标原点，若O EF为直角三角形，求直线l的 斜率 【解析】 由已知 22 3 ,5 2 c ab a ， 又 222 abc，解得 22 4 ,1ab， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y ； 根据题意，过点(0 ,4)D满足题意的直线斜率存在，设:4lykx， 联立 2 2 1 4 4 x y ykx ，消去 y
16、 得 22 (14)32600kxkx， 222 (32)240(14)64240kkk ， 令0，解得 2 15 4 k 设E、F两点的坐标分别为 1122 (,) ,(,)xyxy， ）当E OF为直角时， 则 1212 22 3260 , 1414 k xxx x kk ， 因为EO F为直角，所以0O EO F，即 1212 0 x xy y ， 所以 2 1212 (1)4()160kx xkxx， 所以 22 22 15(1)32 40 1414 kk kk ，解得19k 第 8 页 ）当O EF或O F E为直角时，不妨设O E F为直角， 此时，1 O E kk ，所以 11 11 4 1 yy xx ，即 22 111 4xyy 又 2 2 1 1 1 4 x y 将 代入 ，消去 1 x 得 2 11 3440yy ， 解得 1 2 3 y 或 1 2y （舍去）， 将 1 2 3 y 代入 ，得 1 2 5, 3 x 所以 1 1 4 5 y k
