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1、2012 顺义高三一模数学理科第 1 页 共 10 页 n= n +2 S=0，n=2，i=1 i= i +1 S = S+ 1 n 输出 S 开始 结束 是 否 顺义区 2012 届一模高三数学（理科）试卷 2012.4 一.选择题 (本大题共8 个小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项 ) 1. 已知集合0,1, 3M,|3 ,Nxxa aM,则集合 MNI A.0B. 0,1C. 0, 3D. 1,3 2.已知i为虚数单位，则复数 (1)ii 所对应点的坐标为 A. (1,1) B. (1,1) C. (1,1) D. (1,1) 3.已
2、知p、q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算 1111 24620 的值的一个程序框图，判断 框内应填入的条件是 A.20iB.20i C.10iD.10i 5. 已 知 直 线l：10 xy和 圆C： cos 1sin x y （为参数，R） ， 则直线l与圆C的位置关系为 A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切B. 直线与圆相离 6.甲乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲乙 两人所选的课程中恰有1 门相同的选法有
3、 A.12 种B.16 种C.24 种 D.48 种 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A.60B.80 C.100D.120 俯视图 左视图 正（主）视图 8 2 3 2 3 4 4 2012 顺义高三一模数学理科第 2 页 共 10 页 8已知椭圆:G 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，M过椭圆G的一个顶点和一 个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是 A. 4B. 8C. 1 2D. 1 6 二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡上) 9.若 1 () n x x 展开式中第二项
4、与第四项的系数相等，则n_; 展开式中间一项的系数为_. 10.已知数列 n a的前 n 项和为 n S，对任 意的 * nN都有21 nn Sa，则 1 a的值为 _，数列 n a的通项公式 n a_. 11.如图所示：圆O的直径6AB，C为圆周上一点， 0 30BAC ，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂 线，垂足为D，则C D的长为 _. 12.已知O是坐标原点，点(2,1)A，若点(,)Mx y为平面 区域 10 10 10 xy y xy ，上的一个动点，则OAOM 的最大值 为. 13.已知A、B、P是双曲线 22 22 1 xy ab 上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，
5、 若直线,PAPB的斜率乘积 1 2 PAP B kk，则该双曲线的离心率e_. 14.已知全集为,UPU?，定义集合 P的特征函数为 1, () 0,. P U xP fx xPe ， 对于AU?，BU?，给出下列四个结论： 对 xU，有 ()()1 U A A fxfx e ； 对xU，若AB?，则()() AB fxfx； 对xU，有()()() ABAB fxfxfx I ； 对xU，有()()() ABAB fxfxfx l D O C BA 2012 顺义高三一模数学理科第 3 页 共 10 页 其中，正确结论的序号是_. 三解答题（本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明
6、、证 明过程或演算步骤）. 15 （本小题共13 分） 已知向量(2 cos,1) 2 x m u r ，(cos,1) 2 x n r ，()xR，设函数()fxm n u rr . ()求函数 ()fx 的值域； ()已知ABCV的三个内角分别为A、B、C， 若 1 (), 3 fA23,3BCAC，求边长AB的值 . 16. （本小题共13 分） 如图：四棱锥PABC D中，底面ABC D是平行四边形， 0 90ACB， PA 平面A BC D，1PABC， 2AB ，F是BC的中点 . () 求证：D A平面PAC； ()试在线段PD上确定一点G，使C G平面PAF； （）求平面PAF
7、与平面PC D所成 锐二面角的余弦值. 17 （本小题共13 分） 计算机考试分理论考试与实际操作 考试两部分进行，每部分考试成绩只 记“合格”与“不合格” ，两部分考试 都“合格”者，则计算机考试“合格” 并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人 在理论考试中 “合格” 的概率依次为： 4 5 、 3 4 、 2 3 ，在实际操作考试中“合 格”的概率依次为： 1 2 、 2 3 、 5 6 ，所有考试是否合格相互之间没有影响. （）假设甲、乙、丙3 人同时进行理论与实际操作两项考试， 谁获得“合格证书”的可能性大； （）求这3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2 人获得“合格证书”的概率；
8、（）用X表示甲、乙、丙3 人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期望EX. 18 （本小题共14 分） 已知函数()ln,fxxx 2 () a g xx x ,(其中0a). （）求曲线()yfx在(1,(1)f处的切线方程; （）若1x是函数()()()hxfxgx的极值点，求实数a 的值 ; A D C F P B 2012 顺义高三一模数学理科第 4 页 共 10 页 （）若对任意的 12 ,1,xxe ， （ e 为自然对数的底数，2.718e） 都有 12 ()()fxg x ，求实数 a 的取值范围 . 19 （本小题共14 分） 已知动圆过点(2, 0)M，且被y轴截得的
9、线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C. （）求曲线C的方程； （）过点M的直线交曲线C于A，B两点 , 若在 x 轴上存在定点(, 0)P a，使PM平分 APB，求P点的坐标 . 20. （本小题共13 分） 对于定义域为A的函数)( xf，如果任意的Axx 21, ，当 21 xx时，都有 21 xfxf， 则称函数xf是A上的严格增函数；函数kf是定义在*N上，函数值也在*N中的严 格增函数，并且满足条件kkff3. （）证明：)(3)3(kfkf； （）求*)(3( 1 Nkf k 的值； （） 是否存在 p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在， 找 出所有的
10、p 值，若不存在，请说明理由. 2012 顺义高三一模数学理科第 5 页 共 10 页 顺义区2012 届高三一模数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A D C C B C 二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 94, 6；10.1， 1 2 n ；11, 33 2 ；123；13 6 2 ；14 、； 三解答题（本大题共6 小题，共 80 分） 15 （本小题共 13 分） 解：() 2 ()2 cos1cos 2 x fxmnx urr ，_4分 xRQ ()cosfxx的值域为
11、 1,1. _6分 () 1 ()cos 3 fAA， 由余弦定理 222 2cosBCACABACABA_8分 2 1 12923 3 cc ，即 2 230cc_10分 3ABc ._13分 16. （本小题共 13分） 解：分别以,ACADAP为x、y、z轴建立空 间直角坐标系， 则 1 (0, 0, 0),(1,0, 0),(1,1, 0),(0,1, 0),(1,0),(0, 0,1) 2 ACBDFP ._（建系正 确，坐标写对给 3 分） () 证明方法一：Q四边形是平行四边形， 0 90ACBDAC， QPA平面ABC DPAD A，又ACD A，ACPAAI， D A平面PA
12、C. _4分 方法二：易证DA uuu r 是平面平面 PAC 的一个法向量， D A 平面 PAC ._4分 A D C F P B 2012 顺义高三一模数学理科第 6 页 共 10 页 ()方法一：设PD的中点为 G，在平面PAD 内作G H PA于H ， 则G H平行且等于 1 2 AD，连接F H，则四边形F C G H为平行四边形， _6分 G CFH ，QF H平面PAE，C G平面PAE， C G平面PAE，G为PD中点时，C G平面PAE. _8分 方法二： 设G为PD上一点，使C G平面PAE， 令(0,), (02)PGPD uuu ruuu r ，(1,1)GCPCPG
13、 uuu ruuu ruuu r 可求得平面PAE法向量(1, 2, 0)m u r ， 要C G平面PAE，0m G C u ruuu r ，解得 1 2 . G为PD中点时，C G平面PAE. （）可求得平面PC D法向量(1,1,1)n r ，_10分 |15 cos, 5 | m n m n mn urr u rr u rr 所求二面角的余弦值为 15 5 ._13分 17 （本小题共 13 分） 解： （）记“甲获得合格证书”为事件A， “乙获得合格证书”为事件B， “丙 获得合格证书”为事件 C 则 41236 () 52590 PA ， 32145 () 43290 P B ，
14、25550 () 36990 P C ()()()P CP BP A，所以丙获得合格证书的可能性大. _4分 （）设 3 人考试后恰有 2 人获得“合格证书”为事件D ()(,)(,)(,)P DP A B CP A B CPA B C = 21421531511 52952952930 ._8分 （）0,1, 2, 3.X， 1111 (0) 54360 PX， 4111311129 (1) 54354354360 PX ， 2012 顺义高三一模数学理科第 7 页 共 10 页 43141213226 (2) 54354354360 PX， 43224 (3) 54360 PX._10分
15、X的分布列为： 133 60 EX； _13分 18 （本小题共 14 分） 解： （） 22 2 ()( )( )ln2ln aa h xfxg xxxxxx xx 定义域0,_1分 222 22 12 ()2 axxa hx xxx ，_3分 法一：令 (1)0h，解得 2 1a， 又 0a ， 1a ，_4分 经验证1a符合条件 . _5分 法二：令 22 2 2 ()0 xxa hx x ， 22 20 xxa， 2 181a 2 1,2 118 4 a x，Q0 x， 2 118 4 a x为极值点， 2 118 1 4 a x，解得 2 1a，又 0a ， 1a ， （）对任意的 12 ,1,xxe都有 12 ()()fxgx成立， 等价于对任意的 1,xe 都有 maxmin ()()fxgx成立， _7分 当1,xe， 11 ()10 x fx xx ，()fx在 1, e 上单调递增， m ax( )( )1fxfee._8分 X0 1 2 3 P 1 60 9 60 26 60 24 60 2012 顺义高三一模数学理
