《迭代矩阵谱半径PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《迭代矩阵谱半径PPT课件（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.,1,数值分析10,迭代法的收敛性 Convergence of iterative method 迭代矩阵谱半径 Spectral radius 对角占优矩阵 diagonally dominant matrix,.,2,原始方程: A x = b,记 (k) = x(k) x* ( k = 0, 1, 2, 3, ),则有 (k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ),迭代格式: x(k+1) = B x(k) + f,x(k+1) x*= B(x(k) x*),2/15,.,3,(1),(k) = B (k-1)=B2 (k-2)=Bk (0
2、),3/15,.,4,证: 由(k) = B (k-1),得 | (k)| | B| | (k-1)| ( k = 1, 2, 3, ),所以,命题 若|B|1,则迭代法 x(k+1) =B x(k) +f 收敛,| (k)| | B|k | (0)|,4/15,.,5,矩阵A的谱,设n阶方阵A的n个特征值为:,则称集合,为A的谱. 记为 ch A,矩阵A的谱半径,注1: 当A是对称矩阵时, |A|2 = (A),注2: 对 Rnn 中的范数| |,有 (A) | A |,特征值取模最大,5/15,.,6,定理4.1 迭代法 x(k+1) = B x(k) + f 收敛 谱半径(B) 1,证:
3、 对任何 n 阶矩阵B都存在非奇矩阵P使 B = P 1 J P 其中, J 为B的 Jordan 标准型,其中, Ji 为Jordan块,6/15,.,7,其中,i 是矩阵B的特征值, 由 B = P 1 J P,B k = (P 1 J P) (P 1 J P) (P 1 J P)= P 1 J k P,迭代法 x(k+1) = B x(k) + f 收敛 ,7/15,.,8,Ans= 1.2604e-005,例 线性方程组 A x = b, 分别取系数矩阵为,试分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性,D=diag(diag(A1); B1=D(D-A1); max(ab
4、s(eig(B1),(1),A1=1,2,-2;1,1,1;2,2,1,8/15,.,9,DL=tril(A1) B1=DL(DL-A1) max(abs(eig(B1),Ans= 2,(2) A2=2, -1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, -2,D=diag(diag(A2) B2=D(D-A2) max(abs(eig(Bj),Ans= 1.1180,9/15,.,10,DL=tril(A2) B2=DL(DL-A2) max(abs(eig(B2),Ans= 1/2,两种迭代法之间没有直接联系 对矩阵A1,求A1 x = b 的Jacobi迭代法收敛,而Gauss-Seidel迭
5、代法发散; 对矩阵A2,求A2 x = b 的Jacobi迭代法发散,而Gauss-Seidel迭代法收敛.,10/15,.,11,定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若|B|1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有,(1),(2),误差估计定理,11/15,.,12,证 由|B|1,有,|x(k+1) x(k) |= |(x* x(k) (x* x(k+1)| |(x* x(k) | |(x* x(k+1)| |(x* x(k)| |B| |(x* x(k)| = ( 1 - | B |) |(x* x(k)|,所以,12/15,.,13,所以,误差估计:,13
6、/15,.,14,定义4.1 A=(aij)nn, 如果 则称A为严格对角占优阵.,例4.1,14/15,.,15,定理4.3 若Ax=b的系数矩阵A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛,证: 由于矩阵A严格对角占优,由A矩阵构造Jacobi迭代矩阵BJ = D-1(D A) 第i行绝对值求和,所以,15/15,.,16,矩阵的条件数概念,方程组 Ax = b, 右端项 b 有一扰动 引起方程组解 x 的扰动,设 x 是方程组 Ax = b 的解,则有,所以,12/16,.,17,定义条件数: Cond(A) = |A1 | |A| 或 C(A) = |A1 | |A
7、|,当条件数很大时,方程组 Ax = b是病态问题;当条件数较小时,方程组 Ax = b是良态问题,13/16,.,18,类似,设方程组 Ax = b,矩阵A 有一扰动 时, 将引起方程组解x的扰动,设 x 是方程组 Ax = b 的解,则有,化简,得,取范数,14/16,.,19,A famous example of a badly conditioned matrix,15/16,.,20,ans= -2.4000 27.0000 -64.8000 42.0000 ans = 524.0568 1.5514e+004 4.7661e+005 1.4951e+007 4.7537e+008 1.5258e+010,A=hilb(4); b=1 2 1.41 2; b1=1 2 1.42 2; Ab-Ab1 for k=3:8 H=hilb(k); cond(H) end,
