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1、排列组合 二项式定理排列组合 二项式定理 1，分类计数原理 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办 法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多 种不同的方法 2，排列排列 排列定义：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素（被取 出的元素各不相同） ，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义；从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素的所 有排列的个数 m nA 公式 = 规定 0！=1 m nA ! ()! n nm 3，组合3
2、，组合 组合定义 组合定义 从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素的所有组合 个数 m nC = m nC ! !()! n m nm 性质 = m nC n m nC 1 1 mmm nnnCCC 排列组合题型总结 排列组合题型总结 一直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下 列条件的四位数各有多少个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析 ： （1）
3、个位和千位有 5 个数字可供选择，其余 2 位有四个可供选择，由乘法原理 ： 2 5 A 2 4 A 2 5 A =240 2 4 A 2特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有=60，1 不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的 3 5 A 1 4 A 1 4 A 有，共有=192 所以总共有 192+60=252 2 4 A 1 4 A 1 4 A 2 4 A 二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 4 3 5 4 6 2AAA =252 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9， 将它们任
4、意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位 数？ 分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中 0 在百 3 3 33 5 2AC 位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 22 4 2C 2 2 A -=432 3 3 33 5 2AC 22 4 2C 2 2 A Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生 （5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 二插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法
5、。 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插 入方法？ 分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有=100 1 10 1 9 AA 中插入方法。 三捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（） 3 3 2 4A C ,2，某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数 较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（） （注
6、意 19 28 1 29 AC 连续参观 2 天， 即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是 19 所学校选 1 29 C 28 天进行排列） 四阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分 配方案共 种 。 分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中 插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种 7 11 C 五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理，各有几种分发
7、？ （1） 平均分成三堆， （2） 平均分给甲乙丙三人 （3） 一堆一本，一堆两本，一对三本 3,52,4 （4） 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案） （5） 一人的一本，一人的两本，一人的三本 分析 ： 1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)， （a5,a6）由顺序不同可以有=6 种， 3 3 A 而这 6 种分法只算一种分堆方式， 故 6 本不同的书平均分成三堆方式有 3 3 2 2 2 4 2 6 A CCC =15 种 2，六本不同的书，平均分成三堆有 x 种，平均分给甲乙丙三人 就有 x种 3 3A 222 642C C C 3， 5， 123 653C C
8、C 3 3A 123 653C C C 五合并单元格解决染色问题 Eg 如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种 颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答） 。 分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 4 个元素 的全排列数A 4 4 （）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法 A 4 4 （）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4； 3、5 分别合并，这样仅有
9、三 个单元格 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有种方法 AC 3 3 3 4 由加法原理知：不同着色方法共有 2=48+24=72（种） ACA 3 3 3 4 4 4 练习 1（天津卷（文） ）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72） 2某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3） ，现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种 12345 2,4 一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答） （120） 图 3 图 4 3如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可 以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数 （540） 4如图 5： 四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服 装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着 色方法是 种（84） 图 5 图 6 5将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用， 则不同的染色方法共 种（420） 5 46 1 32 E D C B A 4 3 2 1D B C E A
