《平方差公式与完全平方公式知识点总结--修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平方差公式与完全平方公式知识点总结--修订编选（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、乘法公式的复习乘法公式的复习 一、平方差公式一、平方差公式 (a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，xyyxx 位置变化，xyyxx2 2yy2 2 符号变化，xyxyx 符号变化，xyxyx2 2yy2 2 x x2 2yy2 2 指数变化，x 指数变化，x2 2yy2 2xx2 2yy2 2xx4 4yy4 4 系数变化，2ab2ab4a 系数变化，2ab2ab4a2 2bb2 2 换式变化，xyzmxyzm 换式变化，xyzmxyzm xyxy2 2zmzm2 2 xx2
2、 2y y2 2zmzmzmzm xx2 2y y2 2zz2 2zmzmmzmzmm2 2 xx2 2y y2 2zz2 22zmm2zmm2 2 增项变化，xyzxyz 增项变化，xyzxyz xyxy2 2zz2 2 xyxyzxyxyz2 2 xx2 2xyxyyxyxyy2 2zz2 2 xx2 22xyy2xyy2 2zz2 2 连用公式变化，xyxyx 连用公式变化，xyxyx2 2yy2 2 xx2 2yy2 2xx2 2yy2 2 xx4 4yy4 4 逆用公式变化，xyz 逆用公式变化，xyz2 2xyzxyz2 2 xyzxyzxyzxyz xyzxyzxyzxyz 2x
3、2y2z 2x2y2z 4xy4xz 4xy4xz 完全平方公式完全平方公式 活用: 活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公 式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公 式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 12 22 32 44 2 22 2 22 22 22 22 . . . . ababab ababab ababab ababab 灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养 综合运用知识的能力。 灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养 综合运用知识的
4、能力。 例 1已知，求的值。例 1已知，求的值。2ba1ab 22 ba 例 2已知，求的值。例 2已知，求的值。8ba2ab 2 )(ba 解： 解： 2 )(ba 22 2baba 2 )(ba 22 2baba = = 2 )(ba 2 )(baab4 2 )(baab4 2 )(ba ， ， 8ba2ab 2 )(ba562482 例 3 例 3 已知，求的值。已知，求的值。abab45，ab 22 解：解：ababab 22 2 2 242526 三、学习乘法公式应注意的问题三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数” （一）、注意掌握公式的特征，认
5、清公式中的“两数” 例 1 计算(-2x例 1 计算(-2x2 2-5)(2x-5)(2x2 2-5)-5) 分析 ： 本题两个因式中“-5”相同，“2x分析 ： 本题两个因式中“-5”相同，“2x2 2”符号相反，因而“-5” 是公式(a+b)(a-b)=a ”符号相反，因而“-5” 是公式(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2中的a，而“2x中的a，而“2x2 2”则是公式中的b”则是公式中的b 例 2 计算(-a例 2 计算(-a2 2+4b)+4b)2 2 分析：运用公式(a+b)分析：运用公式(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2时，“-a时，“-a2 2
6、”就是公式中的a， “4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a ”就是公式中的a， “4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2 2) )2 2时，则“4b”是公 式中的a，而“a 时，则“4b”是公 式中的a，而“a2 2”就是公式中的b（解略）”就是公式中的b（解略） （二）、注意为使用公式创造条件（二）、注意为使用公式创造条件 例 3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)例 3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 分析 ： 粗看不能运用公式计算， 但注意观察， 两个因式中的 “2x”、 “5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技 巧使原式
7、变形为符合平方差公式的形式 分析 ： 粗看不能运用公式计算， 但注意观察， 两个因式中的 “2x”、 “5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技 巧使原式变形为符合平方差公式的形式 例 5 计算(2+1)(2例 5 计算(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)+1) 分析 ： 此题乍看无公式可用， “硬乘” 太繁， 但若添上一项 （2-1）， 则可运用公式，使问题化繁为简 分析 ： 此题乍看无公式可用， “硬乘” 太繁， 但若添上一项 （2-1）， 则可运用公式，使问题化繁为简 （三）、注意公式的推广（三）、注意公式的推广 计算多项式的
8、平方，由(a+b)计算多项式的平方，由(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2，可推广得到： (a+b+c) ，可推广得到： (a+b+c)2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2ac+2bc+2ab+2ac+2bc 可叙述为 ： 多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积 的 2 倍 可叙述为 ： 多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积 的 2 倍 例 6 计算(2x+y-3)例 6 计算(2x+y-3)2 2 解：原式=(2x)解：原式=(2x)2 2+y+y2 2+(-3)+(-3)2 2+22xy+22x(-3)+2y(-3)+22x
9、y+22x(-3)+2y(-3) =4x=4x2 2+y+y2 2+9+4xy-12x-6y+9+4xy-12x-6y （四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例 7已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y) 例 7已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2 2的值的值 例 10 计算(2a+3b)例 10 计算(2a+3b)2 2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 2 分析 ： 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆 用完全平方公式，则运算更为简便 分析 ： 此题可以利
10、用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆 用完全平方公式，则运算更为简便 四、怎样熟练运用公式：四、怎样熟练运用公式： 熟悉常见的几种变化熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计 算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计 算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点 常见的几种变化是：常见的几种变化是： 1、位置变化 如（3x+5y） （5y3x）交换 3x和 5y的位置后即 可用平方差公式计算了 1、位置变化 如（3x+5y） （5y3x）交换 3x和 5y的位置后即 可用平方差
11、公式计算了 2、 符号变化 如 （2m7n）（2m7n） 变为 （2m+7n）（2m7n） 后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？） 2、 符号变化 如 （2m7n）（2m7n） 变为 （2m+7n）（2m7n） 后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？） 3、数字变化 如 98102，993、数字变化 如 98102，992 2，91，912 2等分别变为（1002） （100+2） ， （1001） 等分别变为（1002） （100+2） ， （1001）2 2， （90+1）， （90+1）2 2后就能够用乘法公式加以解答了后就能够用乘法公式加以解答了
12、4、系数变化 如（4m+ ） （2m ）变为 2（2m+ ） （2m ）4、系数变化 如（4m+ ） （2m ）变为 2（2m+ ） （2m ） 2 n 4 n 4 n 4 n 后即可用平方差公式进行计算了后即可用平方差公式进行计算了 （四） 、注意公式的灵活运用（四） 、注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以 使计算更简便如计算（a 有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以 使计算更简便如计算（a2 2+1）+1）2 2（a（a2 21）1）2 2，若分别展开后再相乘， 则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即 原式
13、=（a ，若分别展开后再相乘， 则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即 原式=（a2 2+1） （a+1） （a2 21）1）2 2=（a=（a4 41）1）2 2=a=a8 82a2a4 4+1+1 对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意 逆向（从右到左）运用如计算（1） （1） （1）（1 对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意 逆向（从右到左）运用如计算（1） （1） （1）（1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 ） （1） ，若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，） （1） ，若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难
14、， 2 9 1 2 10 1 而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公 式，则可巧解本题 而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公 式，则可巧解本题 即原式=（1 ） （1+ ） （1 ） （1+ ） （1） （1+） =即原式=（1 ） （1+ ） （1 ） （1+ ） （1） （1+） = 2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1 = = = = 2 1 2 3 3 2 3 4 10 9 10 11 2 1 10 11 20 11 有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变 式， 乘法公式的变式主要有 ：a 有时有些问题不能直接用乘
15、法公式解决， 而要用到乘法公式的变 式， 乘法公式的变式主要有 ：a2 2+b+b2 2=（a+b）=（a+b） 2 22ab， a2ab，a2 2+b+b2 2=（ab）=（ab） 2 2+2ab 等 +2ab 等 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效 如已知m+n=7，mn=18，求m如已知m+n=7，mn=18，求m2 2+n+n2 2，m，m2 2mn+ nmn+ n2 2的值的值 面对这样的问题就可用上述变式来解，面对这样的问题就可用上述变式来解， 即m即m2 2+n+n2 2=（m+n）=（m+n）2 22mn=72mn=72 22（18
16、）=49+36=85，2（18）=49+36=85， m m2 2mn+ nmn+ n2 2= （m+n）= （m+n）2 23mn=73mn=72 23（18）=1033（18）=103 下列各题，难不倒你吧？！下列各题，难不倒你吧？！ 1、若a+ =5，求（1）a1、若a+ =5，求（1）a2 2+， （2） （a ）+， （2） （a ）2 2的值的值 a 1 2 1 aa 1 2、求（2+1） （22、求（2+1） （22 2+1） （2+1） （24 4+1） （2+1） （28 8+1） （2+1） （216 16+1） （2 +1） （232 32+1） （2 +1） （264 64+1）+1 的末位数字 +1）+1 的末位数字 （答案：1.（1）23；（2）212. 6 ）（答案：1.（1）23；（2）2
