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1、第 1 讲与有理数有关的概念 经典 考题赏析 【例 1】写出下列各语句的实际意义 向前 7 米收人 50 元体重增加3 千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量而相反意义的量包合两个要素：一是 它们的意义相反二是它们具有数量而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减 少等等” 解：向前 7 米表示向后7 米收入 50 元表示支出50 元体重增加3 千克表示体重减小3 千克 . 【变式题组 】 01如果 10% 表示增加10% ，那么减少8% 可以记作（） A18% B8% C2% D8% 02 （金华）如果3 吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5 吨大米表示为 (
2、 ) A5 吨B5 吨C3 吨D3 吨 03 （山西）北京与纽约的时差13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）. 如现在是北京时间l5： 00，纽约时问是_ 【例 】在 22 7 ， ，0.0 33 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A 1个B 2个C 3个D 4个 【解法指导 】有理数的分类：按正负性分类，有理数0 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ；按整数、分数分类， 有理数 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为 3.1415926是无限不循环 小数，它不能写成分数的形式，所以不是有理数， 22 7 是分数0.0 33
3、 . 3是无限循环小数可以化成分 数形式， 0 是整数，所以都是有理数，故选C 【变式题组 】 01在 7，0 1 5 ， 1 2， 301.31.25 ， 1 8， 100. l， 3 001 中，负分数为 ，整数为， 正整数 . 02 （河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15， 1 9， 2 15， 13 8 ， 0.1 5.32 ，123, 2.333 【例 】 （宁夏）有一列数为1， 1 2， 1 3， 1 4 1 5， 1 6，找规律到第 2007 个数是 . 【解法指导 】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律击归纳去 猜想，然后进行验证. 解本题
4、会有这样的规律：各数的分子部是1；各数的分母依次为1，2，3，4， 5，6，处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007 个数的分子也是1分 母是 2007，并且是一个负数，故答案为 1 2007 . 【变式题组 】 01 （湖北宜宾）数学解密：第一个数是32 1，第二个数是53 2，第三个数是9 54，第四 十数是 1798观察并精想第六个数是 . 02 （毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填_. 03 （茂名）有一组数l，2，5，10，17，26请观察规律，则第8 个数为 _. 【例】 （2008年河北张家口） 若 l m 2的相反数是 3， 则 m
5、 的相反数是 _. 【解法指导 】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数. 几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题 m 2 4, m 8 【变式题组 】 01 （四川宜宾）5 的相反数是 ( ) A5 B 1 5 C5 D 1 5 02已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则abcd_ 03如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别 填人适当的数， 使得它们折成正方体. 若相对的面上的两个数互为相反数，则 填人正方形A、B、C 内的三个数依次为( ) A 1 ,2，0 B 0
6、， 2，1 C2，0，1 D 2 ，1， 0 【例】（湖北） a、b 为有理数，且a0，b0，| b| a，则 a, b、 a, b 的大小顺序是( ) Ab a a bBa ba bCba abDaa bb 【解法指导】 理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离, 即| a|, 用式子表示为 | a| 0) 0(0) (0) a a a a a ( . 本题注意数形结合思想，画一条数轴 标出 a、b, 依相反数的意义标出b, a, 故选 A 【变式题组】 01推理若ab，则 | a| | b| ；若 | a| | b| ，则 ab；若 ab，则 | a| | b
7、| ；若 | a| | b| ， 则 ab，其中正确的个数为（） A 4个B 3个C 2个D 1个 02 a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，则 | a| a | b| b | c| c . 03 a、b、c 为不等于O 的有理散，则 a | a| b | b| c | c| 的值可能是 _. 【例】（江西课改）已知| a4| | b8| 0，则 a+b ab 的值 . 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即 | a| 0所以 | a4| 0， | b8| 0. 而两个非负数之和为0，则两数均为0. 解：因为 | a4| 0， | b8| 0，又
8、| a4| | b8| 0，|a 4| 0， | b8| 0 即 a40， b80，a4，b8. 故 a+b ab 12 32 3 8 【变式题组】 01已知 | a| 1， | b| 2，| c| 3，且 abc，求 abC 02 （毕节）若 | m3| | n2| 0，则 m2n 的值为 ( ) A4 B1 C 0 D 4 03已知 | a| 8， | b| 2，且 | a b| b a，求 a 和 b 的值 【例】（第 l8 届迎春杯）已知( m n) 2| m| m，且 |2 m n2| 0求 mn 的值 【解法指导】本例关键是通过分析( mn) 2| m| 的符号， 挖掘出 m 的符
9、号特征 ,从而把问题转化为 ( mn) 20，|2 mn2| 0，找到解题途径 . 解：( mn) 2 0， | m| O (mn) 2| m| 0，而 ( mn)2| m| m m0, (mn) 2mm，即 ( mn)20 mnO 又|2 mn2| 0 2mn20 由得 m 2 3，n 2 3， mn 4 9 【变式题组】 01已知 ( ab) 2| b5| b5 且|2 abl| 0，求 a B 02 （第 16 届迎春杯）已知y| xa| | x19| | xa96| ，如果 19 a96 ax96, 求 y 的最 大值 . 演练巩固 反馈提高 01观察下列有规律的数 1 2, 1 6,
10、 1 12, 1 20, 1 30, 1 42根据其规律可知第 9 个数是 ( ) A 1 56 B 1 72 C 1 90 D 1 110 02 （芜湖） 6 的绝对值是 ( ) A 6 B6 C 1 6 D 1 6 03在 22 7 , ,8. . 0.3四个数中，有理数的个数为( ) A 1个B 2个C 3个D 4个 04若一个数的相反数为ab，则这个数是( ) AabBbaCabD ab 05数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是 ( ) A 0和 6 B0 和 6 C 3和 3 D 0和 3 06若 a 不是负数，则a( ) A是正数B不是负数C是负数D不是正数 07下列
11、结论中，正确的是( ) 若 ab,则| a| | b| 若a b, 则| a| | b| 若 | a| | b| ，则 a b若 | a| | b|, 则 ab A B C D 08有理数a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示, 则 a、b， a，| b| 的大小关系正确 的是 ( ) A | b| a abB |b| b a a Ca| b| b aDa| b| ab 09一个数在数轴上所对应的点向右移动5 个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是_. 10已知 | x2| | y2| 0，则 xy_. 11a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，求 | a| a | b| b | abc
12、| abc | c| c 12若三个不相等的有理数可以表示为1、a、 ab 也可以表示成0、b、 b a的形式，试求 a、b 的值 . 13已知 | a| 4， | b| 5，| c| 6，且 abc，求 abC 14| a| 具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时， | xl| | x3| 有没有最小值，如果 有，求出最小值；如果没有，说明理由. 15点 A、B 在数轴上分别表示实数a、b，A、B 两点之间的距离表示为| AB| 当 A、B 两点中有一点 在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，| AB| | OB| | b| | ab| 当 A、B 两点都不在原点 时有以下三种
13、情况: 如图 2，点 A、B 都在原点的右边| AB| | OB| | OA| | b| | a| ba | ab| ； 如图 3，点 A、B 都在原点的左边，| AB| | OB| | OA| | b| | a| b( a) | ab| ； 如图 4，点 A、B 在原点的两边，| AB| | OB| | OA| | b| | a| b（ a） | ab| ； 综上，数轴上A、B 两点之间的距离| AB| | ab| 回答下列问题: 数轴上表示2 和 5 的两点之间的距离是 , 数轴上表示2 和 5 的两点之间的距离 是 , ，数轴上表示1 和 3 的两点之间的距离是； 数轴上表示x 和 1
14、的两点分别是点A 和 B，则 A、B 之间的距离是， 如果 | AB| 2，那么 x； 当代数式 | x1| | x2| 取最小值时，相应的x的取值范围是 培优升级 奥赛检测 01 （重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为19991 9 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整 数点的个数是 ( ) A 1998 B 1999 C 2000 D 2001 02 （第 l8 届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结 论： abc 0; | ab| | bc| | ac| ；（ a b）( b c)( ca) 0； | a| 1 bc其中正 确的结论有
15、( ) A 4个B 3个C 2个D 1个 03如果 a、b、 c 是非零有理数， 且 abc0 那么 a | a| b | b| c | c| abc | abc| 的所有可能的值为 （） A 1 B 1或 1 C 2或 2 D 0或 2 04已知 | m| m，化简 | ml| | m 2| 所得结果 ( ) A1 B 1 C 2 m 3 D 3 2 m 05如果 0p 15，那么代数式| xp| | x15| | x p15| 在 px15 的最小值 ( ) A 30 B 0 C 15 D一个与 p 有关的代数式 06 | x1| | x2| | x3| 的最小值为 . 07若 a0，b0，使 | xa| | xb| ab 成立的 x 取值范围 . 08 （武汉市选拔赛试题）非零整数m、n 满足 | m| | n| 50 所有这样的整数组( m，n) 共有组 09若非零有理数m、n、p 满足 | m| m | n| n | p| p 1则 2mnp |3 mnp| . 10 （19 届希望杯试题）试求| x1| | x 2| | x3| | x1997| 的最小值 . 11已知 (| xl| | x2|) （| y2| | y 1| ） （| z 3| | zl| ） 36，求x2y3 的最大值和最小 值. 12电子跳蚤落在数轴上的某点k
