《八年级上数学_全等三角形典型例题(一)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级上数学_全等三角形典型例题(一)-修订编选（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全等三角形典型例题：全等三角形典型例题： 例 1：把两个含有 45角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连结 BE，AD，AD 的延长线交 BE 于点 F求证：AFBE 练习 1：如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE， 如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。 例例 2： DAC, EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N, 求证：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) CMN 为等边三角形；（4）MNBC。 D A CB NM 例例 3：（10 分）已知，ABC 中，BAC =
2、 90，AB = AC，过 A 任作一直线 l，作 BDl 于 D，CEl 于 E，观 察三条线段 BD，CE，DE 之间的数量关系 如图 1，当 l 经过 BC 中点时，DE = （1 分） ，此时 BD CE（1 分） 如图 2，当 l 不与线段 BC 相交时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论 （3 分） 如图 3，当 l 与线段 BC 相交，交点靠近 B 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 证明你的结论（4 分） ，并画图直接写出交点靠近 C 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 （1 分） 图 1 图 2 图 3 A F B CE D E D A C B
3、A l B C A BC D E l A BC l E D E E 练习 1： 以直角三角形 ABC 的两直角边 AB、BC 为一边，分别向外作等边三角形ABE 和等边BCF，连结 EF、EC。 试说明：（1）EFEC；（2）EBCF C B A F E 练习 2： 如图（1）A、E、F、C 在同一直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 DEAC，BFAC 若 AB=CD，G 是 EF 的中点吗？请 证明你的结论。 若将 ABC 的边 EC 经 AC 方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？ 例四：如图如图 1，已知，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90，
4、 问问 BD=AB+ED 吗吗? 分析 ： （1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组 90角，得到一组等量关系； （2）出现 3 个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系； （3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起： 如如图 6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到 AC=BD。 解答过程：得到ABCCDE 之后，可得到 BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性质） 即：BD=AB+DE 变形 1：如图如图 7， 如果如果ABCCDE，请说明，请说明 AC 与与 CE 的关系。的关系。 注意：两条线段的关系包括：大小关系（
5、相等，一半，两倍之类） 位置关系（垂直，平行之类） 变形 2：如图，E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点，过点 A 作 FAAE 交 CB 的延长线于点 F， 求证：DE=BF 分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。 图 6 O A B C D B D E C A 图 5 B D E C A 图 7 F A B D C E 变形 3：如图如图 8，在，在ABC 中，中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点是过点 A 的直线，的直线，BDAE，CEAE， 如果如果 CE=3，BD=7，请你求出，请你求出 DE 的长度。的长度。 分析 ：说明相等的边所
6、在的三角形全等说明相等的边所在的三角形全等， 题中“AB=AC” ，发现：AB 在 RtABD 中，AC 在 RtCAE 中， 所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等（如图 9） 于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角， 再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在 RtABD 中，1+ABD=90（直角三角形的两个锐角互余） 又 BAC=90（已知） ， 即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等） 故在ABD 与CAE 中， BDA=AEC=90（垂直定义） ABD=CAE（已求） AB=AC（已知） ABDCAE（AAS） A
7、E=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） DE=AEAD=73=4 变形 4：在在ABC 中，中，ACB= 900，AC=BC，直线，直线 MN 经过点经过点 C，且，且 ADMN 于于 D，BEMN 于于 E。 （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？ （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 10 的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。 （3） 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时， 试问 DE， AD， BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。 E D A C B 图 8 1
8、E D A C B 图 9 图 11 E D C B A N M 图 12 E D C B A N M E D C B A N M 图 10 等腰三角形、等边三角形的全等问题： 必备知识： 如右图，由由1=2，可得，可得CBE=DBA；反之，也成立；反之，也成立。 例五：已知在已知在ABC 中，中，AB=AC，在，在ADE 中，中，AD=AE，且，且1=2，请问，请问 BD=CE 吗？吗？ 分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边， 分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC 与ADE 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系
9、到一起， 加上所求的“BD=CE” ，你会发现” ，你会发现 BD 在在ABD 中，中，CE 在在ACE 中，中， 这样一来， “AB=AC”可以理解为：AB 在ABD 中，AC 在ACE 中，它们是一组对应边； “AD=AE”可以理解为：AD 在ABD 中，AE 在ACE 中，它们是一组对应边； 所以只需要说明它们的夹角相等即可。 关键还是在于：说明说明“相等的边（角）相等的边（角）所在所在的三角形全等的三角形全等” 解： 1=2（已知） 1+CAD=2+CAD（等式性质） 即： BAD=CAE 在ABD 与ACE 中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE ABDACE（
10、SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等） 变形变形 1：如图：如图 14，已知，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE， 请说明请说明ABDACE.吗？为什么？吗？为什么？ 分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用 SAS 说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢? 2 1 A D C B E 图 14 2 A C B E D 1 图 13 1 2 B CA E D 变形变形 2：过点：过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接分别作两个大小不一样的等边三角形，连接 BD，CE，请说明它们相等。，请说明它们相等。 分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边
11、三角形，只要你根据所求问题，把 BD 看成 在 看成 在ABD 的一边，的一边，CE 看成看成ACE 的一边的一边，自然就得到了证明的方向。 解：ABC 与ADE 是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性质） 即： BAD=CAE 变形变形 3：如图 1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化， ，连接 BD，CE，请说明它们 相等 这里仅以图 17 进行说明 解： ABC 与ADE 是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BACCAD=DAECAD【仅这步有差别】 即：BAD=BAD=CAE
12、 在ABD 与ACE 中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等） 图 16，图 18 的类型，请同学们自己去完成 D C B A E 图 15 D C B A E 图 18 接下来的过程与例三完全一致，不予描述！ D C B A E D C B A E D C B A E D C B A E 图 16 D C B A E 图 17 变形变形 4：如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG，AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于 点 N求证：；CGAE 分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样 例六： 如图，ABC 中，C=90，AB=2AC，M 是 AB 的中点，点 N 在 BC 上，MNAB. 求证：AN 平分BAC. 分析：要说明 AN 平分BAC，必须说明两角相等，可以说明AMNCAN， 而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边） 结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用 HL 定理得到全等。 变形 1：在 RtABC 中，已知A=90，DEBC 于 E 点，如果 AD=DE，BD=CD，求C 的度数 A B G D F E C D E B A C B C N M A
