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1、第 1 页，共 16 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号 一二总分 得分 一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1. 已知集合 = 1,2，3，4， = |2 0, 0)的一条渐近线的倾 斜角为30，则 C 的离心率为_ 7. 已知等差数列的公差为 d，若1，4，13成等比数列，则 1 的值为_ 8. 若 = 3，则 2 tan( + 4)的值为_ 第 2 页，共 16 页 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 + +3 = 0被圆(2)2+ 2= 4截得的 弦长为 2，则实取 k 的取值集合为_ 10.若log3 +log3 5，则 + 3的最小值为
2、_ 11.在正三棱柱111中，P 为棱1的中点，若正三棱柱 111的体积为 9，则三棱锥1的体积为_ 12.若函数 = sin( 3)( 0)在(0, 6)上恰有一个最大值，则的取值范围是 _ 13.已知 M，N 是以 AB 为直径的圆上两点若 = 2， = 5，则 的值为 _ 14.已知 ，若函数() = 3+(1 2)的最大值为 M，则 M 的最小值为 _ 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分） 15.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 = + 2 (1)求 tanB 的值； (2)求cos( + 3)的值 16.如图， 四棱锥的底面 ABCD 是平行四边形
3、， 侧面 PCD 是正三角形，E，F 分别为 PC，PD 的中 点， = .求证： (1)/平面 PAB； (2) 第 3 页，共 16 页 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1( 0)的左顶点为 A，过 A 的直线交 椭圆 E 于另一点 C，直线 AC 交 y 轴于点(0, 2)，且 = 3 (1)求椭圆 E 的离心率； (2)若椭圆 E 的焦距为 2，P 为椭圆 E 上一点，线段 AP 的垂直平分线 l 在 y 轴上的 截距为 1 4(不与 y 轴重合)，求直线 l 的方程 18.江苏省滨临黄海，每年夏秋季节常常受到台风的侵袭据监侧，台风 T
4、 生成于西北 太平洋洋面上其中心位于 A 市南偏东45方向的 B 处该台风先沿北偏西60方 向移动 800km 后在 C 处登陆，登陆点 C 在 A 市南偏东30方向 800km 处，之后， 台风 T 将以30/的速度沿北偏西方向继续移动已知登陆时台风 T 的侵袭范 围(圆形区域)半径为200.并以20/的速度不断增大(cos(30) = 15 16) (1)求台风 T 生成时中心 B 与 A 市的距离； 第 4 页，共 16 页 (2)台风 T 登陆后多少小时开始侵袭 A 市？(保留两位有效数字) (参考数据： 1607 40.09， 1608 40.10， 1609 40.11) 19.设
5、函数() = + + ，a， (1)当 = 2， = 1时，求曲线 = ()在点(2,(2)处的切线方程； (2)若函数()在区间1, + )上的最小值为1 + ，求实数 a 的值； (3)当 = 1时，若函数()恰有两个零点1，2(0 1 1 20.已知等比数列满足 ：24=6，342+41= 0， 各项均不为0的等差数列 的前 n 项和为，1= 1，= + 1， (1)求数列与的通项公式； 第 5 页，共 16 页 (2)设集合 = | 2, ，若 M 只有两个元素，求实数 t 的取值范围 第 6 页，共 16 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】3 【解析】解： = 1,2，3，4，
6、= |2 ，执行循环体， = 2， = 3 不满足条件 ，执行循环体， = 6， = 4 第 7 页，共 16 页 此时，满足条件 ，退出循环，输出 S 的值为 6 故答案为：6 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题 5.【答案】 1 3 【解析】解：甲、乙两人依次从标有数字 0，1，2 的三张卡片中各抽取一张(不放回)， 第一个人没有抽到 0 的概率为 2 3，第二个人没有抽到 0 的概率为 1 2，
7、 则两人均未抽到标有数字 0 的卡片的概率为 2 3 1 2= 1 3， 故答案为： 1 3 由题意利用相互独立事件的概率的求法，求得结论 本题主要考查相互独立事件的概率的求法，属于基础题 6.【答案】 23 3 【解析】解：在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐 近线的倾斜角为30， 可得 = 30 = 3 3 ， 所以 2 2 = 1 3= 22 2 ， 所以 2 2 = 4 3， = 1， 可得 = = 23 3 故答案为：2 3 3 利用双曲线的渐近线的倾斜角，求出 a，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可 本题考查双曲线的简单性质
8、的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题 7.【答案】 3 2 第 8 页，共 16 页 【解析】解： 1，4，13成等比数列， 2 4=113， (1+3)2=1 (1+12)， 由题意可知， 0， 整理可得，21= 3， 1 = 3 2 故答案为： 3 2 由已知可得2 4=113，然后结合等差数列的通项公式可求 本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 8.【答案】 3 10 【解析】解：由于 = 3， 所以2 = 2 1 + tan2 = 3 5，tan( + 4) = 1 + 1tan = 4 2= 2 所以 2 tan( + 4) = 3 5 2
9、= 3 10 故答案为： 3 10 直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9.【答案】 3,0 【解析】解：圆(2)2+ 2= 4的圆心是(2,0)， = 2， 根据 = |2 + +3| 2+ 1 =21 = 3， 得|3 +3| =3(2+ 1)， 化简得(3 + 3) 2= 3(2+1) 解方程得 = 3或者0 故答案为： 3,0 根据直线和圆相交的弦长公式，点到直线的距离代入求解即可 本题主要考察直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，求 k，再
10、写成集合的形 式，基础题 第 9 页，共 16 页 10.【答案】54 【解析】解： log3 +log3 =log3 5， 35， 则 + 3 2 3 = 54， 当且仅当 = 3时取等号，即最小值为 54 故答案为：54 由对数的运算性质可知，log3 +log3 =log3 5，可求 mn 的范围，然后利用基 本不等式可得 + 3 2 3，可求 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题 11.【答案】3 【解析】解：设 = ，1= ， 正三棱柱111中，P 为棱1的中点，正三棱柱 111的体积为 9， 1 2 sin60 = 9， 解得2 = 12 3， P 到平面11的
11、距离 =2 2 4 = 3 2 三棱锥1的体积： 1=1= 1 3 3 2 1 2= 1 3 3 2 12 3 1 2= 3 故答案为：3 设 = ，1= ，由正三棱柱111的体积为 9，能求出2 = 12 3，P 到 平面11的距离 =2 2 4 = 3 2 .三棱锥1的体积1=1，由此能 求出结果 本题考查三棱锥的体积的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 12.【答案】(5,17 【解析】解： (0, 6)， 0， 3 3 0)在(0, 6)上恰有一个最大值， 5 6 6 17 6， 5 1 17 ， 5 17 的取值范围是(5,17
12、 故答案为：(5,17 由 (0, 6)得出 3 3 0)在(0, 6)上恰有一个最大值， 得到关于的不等式， 从而求得取值范围 本题主要考查了三角函数的图象和最值性质，建立不等式关系是解决本题的关键综合 性较强 13.【答案】1 【解析】解：连接 BM，BN，因为 AB 为直径，所以 = = 90， = () = = |cos|cos = |2|2= 54 = 1， 故答案为 1 连接 BM， BN，利用数量积公式表示，再结合其几何意义 即可求出结果 本题考查平面向量数量积的性质及运算， 数形结合， 结合 平面向量数量积几何意义是关键，属于中档题 14.【答案】2 【解析】解：() = 32
13、+， 0时，() 0，()在1,2递增， 故()= (2) = 2 + 8 8， 0时，令() = 0，解得： = 3， 3 2即 12时，()在1,2递减， 第 11 页，共 16 页 ()= (1) = 1 11， 3 1即 3 1即12 (2)， 故12 3 1, 3 3 0时，()在1, 3)递增，在( 3, 3)递减，在( 3,2递增， 故()= ( 3)或(2)，而( 3) (2)， 故3 3 1, 3 ， 故 = 3时，M 取最小值 2， 故答案为：2 求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而 求出 M 的最小值即可 本题考查了函数的单调性
14、，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想， 是一道综合题 15.【答案】解：(1)因为 = + 2，由正弦定理，得： = + 2， 因为 + + = ， 所以，sin( + ) = + 2 整理，得： = 2， 因为0 1时，可得1 时，() 时，() 0，函数 单调递增， 故()= () = 1 + + = 1 + ， 解可得 = 1(舍)， 综上可得， = 1 (3)当 = 1时，() = 1 + + ， 由题意可得， 1 1+ 1+ = 0 1 2+ 2+ = 0 ， 令() = 1 +，则() = 1 2 ， 则易得，当 1时，() 0，函数单调递增，当0 1时，() 0，
15、函数单调 递减， 根据题意可得，0 1 1 1， 则() = 4(1)2 (22)2 0恒成立，即()在(1, + )上单调递减， 故() (1) = 0， 从而有() 1，所以(1) = (2) 22， 故 1+ 2 2 1 【解析】(1)结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； (2)结合导数可判断函数的单调性，然后结合单调性求出函数在相应区间上的最值，进 而可求； (3)由题意构造函数() = 1 +，求导后结合导数可判断单调性，且可得，0 1 第 15 页，共 16 页 1 1，要证 1+ 2 2 1，即1 22，问题转化 为证(2) (22)，结合导数可证 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值及函数零点的应用，试题 具有一定的综合性 20.【答案】解：(1)因为24=6，所以，222=24，所以，2= 2， 又342+41= 0，所以，242+ 42 = 0，即24 + 4 = 0，所以， = 2， 所以，2= 4，=22= 2， 由= + 1， 当 2时，1= 1， 得：= + 11， 由于 0，所以( + 11) = 1， 设数列的公差为 d，则2 = 1， 在式
