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1、第三篇 动力学,动 力 学 引 言,本章重点、难点 重点 建立质点运动微分方程。 质点动力学第二类基本问题的解法。 难点 对质点运动微分方程进行变量变换后再积分 的方法。,本章重点、难点 重点 建立质点运动微分方程。 质点动力学第二类基本问题的解法。 难点 对质点运动微分方程进行变量变换后再积分 的方法。,本章重点、难点 重点 建立质点运动微分方程。 质点动力学第二类基本问题的解法。 难点 对质点运动微分方程进行变量变换后再积分 的方法。,力的作用是改变物体机械运动的原因，动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。机械运动变化是力对物体作用的结果。,什么是动力学?,动力学研究物体的机械运动与作
2、用力之间的关系。,不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。,从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。,动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。,在静力学、运动学两篇中曾讨论过： 当作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处于平衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是静力学的两个基本任务；,动力学的力学模型,质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转质点系,质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺
3、寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转质点 刚体的平动质点,刚体：质点系的一种特殊情形不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。,工程实际中的动力学问题,棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。,工程实际中的动力学问题,载人飞船的交会与对接,工程实际中的动力学问题,航空航天器 的姿态控制,第十一章 动力学的基本方程,本章内容及分析思路,根据动力学基本定律,质点动力学的基本方程,求解质点的动力学问题,动力学的基本定律,质点的运动微分方程,第11章 质点动力学的基本方程,质点动力学的两类基本问题,导学,11-1 导学,以牛顿运动
4、定律为基础的动力学称为牛顿力学或古典力学。牛顿定律是以实验为根据的，它只适用于某些参考系。凡是牛顿定律适用的参考系称为惯性参考系。相对于惯性参考系静止或作匀速直线参考系都是惯性参考系。科学技术的进一步发展表明，只有宏观物体的速度远小于光速时，古典力学才是正确的。 这说明古典力学的应用范围是有限有。如果物体运动的速度接近光速或研究的是微观离子的运动，则要用相对论力学或量了力学分析研究。 但在一般的工程技术问题中，物体大多是宏观物体，且速度远小于光束，所以用以牛顿运动定律为基础的古典力学的理论来解决，可以得到足够精确的结果。 本章根据牛顿基本定律得出质点动力学的基本方程，运动微积分方法，解决单个质
5、点的动力学的两个基本问题。,第一定律(惯性定律),不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。,第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯性定律。,包括受平衡力系作用的质点,11-2 动力学的基本定律,牛顿三定律,质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。,第二定律(力与加速度之间的关系定律),牛顿三定律,当质点上受到多个力的作用时, 应为此汇交力系的合力。,11-2 动力学的基本定律, 质点在力作用下有确定的加速度，使质点运动状态 发生改变;, 对于相同质量的质点
6、，作用力大，其加速度也大；, 用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则质量 大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。,质量是质点惯性的度量。,质点动力学的基本方程,11-2 动力学的基本定律,重力加速度, 在重力作用下得到的加速度,g,由第二定律得,物体所受的重力,重力加速度,一般取9.80m/s2,力的单位：N（牛顿）,11-2 动力学的基本定律,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体之上。,第三定律(作用与反作用定律),既适用于平衡的物体，也适用于任何运动的物体。,惯性参考系：三个定律均适用的参考系,在一般的工程问题中，把固定于地面的坐
7、标系或相对于地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系。,牛顿三定律,11-2 动力学的基本定律,质点运动微分方程的矢量形式,质点动力学第二定律,1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影,11-3 质点的运动微分方程,将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,式中， 为质点直角坐标形式的运动方程,2、质点运动微分方程在自然轴上的投影,11-3 质点的运动微分方程,第一类问题：已知运动求力,第二类问题：已知力求运动,混合问题：第一类与第二类问题的混合,(需要求导),(需要求积分),11-4 质点动力学的两类基本问题,已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）,解题步骤和
8、要点：, 正确选择研究对象, 受力分析,画受力图, 进行运动分析, 建立坐标系，列出适当形式的质点运动微分方程, 求解未知量,一般选择联系已知量和待求量的质点,分析质点运动的特征量,一、第一类问题,11-4 质点动力学的两类基本问题,例11-1 以匀角速度转动的曲柄OA=r,AB=l,滑块质量为m,忽略摩擦及AB质量;=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程近似为 ,试求 时,AB所受的力。,解:以滑块B为研究对象,由滑块B的运动方程得,O,A,y,x,B,已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）,解题步骤和要点：, 正确选择研究对象, 受力分析,画受力图, 进行运动分析,二、
9、第二类问题,应在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式,判断力是什么性质的力,除分析质点的运动特征外，还要确定运动初始条件, 求解未知量,应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是常量或是时间及速度函数时：,如力是位置的函数时：,要进行变量置换,，再分离变量积分, 建立坐标系，列出适当形式的质点运动微分方程,直接分离变量 积分,例11-2 质量为m的炮弹以速度v0发射,v0与地面夹角为,求炮弹的运动规律。,解: 以炮弹为研究对象，画受力图, 积分, 取坐标系，列微分方程, 由初始条件，求积分常数,例11-3 质量为m的小球以水平速度v0 射入静水,如水对小
10、球的阻力F与小球速度v的方向相反,而大小成正比,即F=-v（为粘滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻力作用下的运动。,解: 以小球为研究对象，画 受力图, 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程,为求vx、vy，将两式分离变量, 积分, 初始条件,求积分常数, 求出小球的速度方程, 再积分，求出小球的运动方程,由初始条件，求积分常数,质点的运动方程为,当t 趋于无穷大时,下落速度c= mg/,称为极限速度;,小球趋于等速铅垂下落;,小球的轨迹趋于一铅垂直线。,当忽略介质阻力,应有=0,可得水平抛射体的运动方程,轨迹为抛物线,例11-4 质量为m的物块在光滑水平面上与刚
11、度系数为k的弹簧相连，在弹簧拉长变形量为a时，释放物块。求物块的运动规律 。,解: 以物块为研究对象，画受力图,弹簧力水平方向，并指向O点,物体在任意坐标x 处弹簧变形量为|x|, 设弹簧未变形处为坐标 原点，建立图示坐标系, 物块沿x轴的运动微分方程,自由振动微分方程的标准形式,此微分方程的解可写为,其中，A、为任意常数，由运动的初始条件决定。,物块的运动方程为,物块做简谐振动：,n 圆频率,周期为T=2/n,物块的运动方程为,振动中心为O点,振幅为a,例11-5 如图所示，圆锥摆的摆绳长l = 0.3m，摆绳与铅直线夹角= 60，质量m = 0.1kg的小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。,解: 以小球为研究对象，画受力图, 取自然轴系，列微分方程,混合问题,本章结束！,
