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1、1 教 案 2 第一章三角形的证明 课题1.1 等腰三角形（1） 教学目标 1. 能证明等腰三角形的性质定理和判定定理； 2. 了解分析的思考方法，掌握用综合法证明的格式； 3感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物的途径. 教学重点等腰三角形的性质定理和判定定理. 教学难点等腰三角形的性质定理和判定定理. 教学过程复备 一. 【预习指导】 1.用的过程，叫做证明. 经过称为定理. 2.证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ 3. 我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实： 4.什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） 5.我们曾经利用等腰三角形的对称性，发现了等腰三角形的哪些
2、性质？ ；. 6.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？ . 二.【效果检测】 1.证明：等腰三角形的两个底角相等. 点拨：要证明两个角相等，可以构造一对全等三角形.图中的 B、 C,AB、AC 要分别是这两个三角形的角与边. 如果用“SAS ”证明，如何作辅助线？ 讨论：还有不同的证明方法吗？ 2. “等边对等角”用符号语言如何表示？ 三.【布置任务】师生互动探究 思考与探索 问题 1. 证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合 . 点拨： 上面的证明你作的辅助性是等腰三角形的什么线？接着刚才的证明，你 一定能发现“三线合一”的真相。请按照证明
3、题的三个步骤，进行证明. 思考：“三线合一”用符号语言如何表示？ 问题 2.如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 写出它的逆命题： 画出图形，写出已知、求证，并进行证明. 思考：“等角对等边”一符号语言如何表示？ 问题 3. 已知：如图 EAC 是 ABC 的外角， AD 平分 EAC，且 ADBC. 求证： ABAC. 3 分析：要证AB AC ，只需证 B C ，已知 EAD DAC, 只需证 EAD B, DAC C. 证明： 四.【小组交流】学生展示 已知：如图，在ABC 中， ABC、 ACB 的平分线相交于点O， MN 过点 O，且 MN BC，交 AB、AC 于
4、点 M、N. （1）求证： MNBM CN. (2)如果 AB=20，BC=12，AC=18，求 AMN 的周长 . 五.【课堂训练】拓展延伸 1. 在问题 3 中，如果ABAC，ADBC，那么 AD 平分 EAC 吗？如果结论 成立，你能证明这个结论吗？ 2.在问题 3 中，如果 ABAC，AD 平分 EAC，那么 AD BC 吗？如果结论成 立，你能证明这个结论吗？ 六.【课堂小结】 本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑 惑？ 随堂练习 课外作业 下一节课 预习要求 教 后 记 A B C D E A N B O M C 4 课题1.1 等腰三角形（2） 教学目标
5、 1. 能证明等边三角形的性质定理和判定定理。 2. 能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。 3. 进一步了解分析法和综合法。 教学重点等边三角形的性质定理和判定定理 教学难点等边三角形的性质定理和判定定理 教学过程复备 一. 【预习指导】 1.等腰三角形性质定理： 2.等腰三角形判定定理：。 3.等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊在哪里？ 。 4.线段垂直平分线的性质定理。 二.【效果检测】 1 证明：等边三角形的每个内角都是60. 分析： 要证等边三角形的每个内角都是60，就要先根据等边对等角证明 三个角相等。 2.证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 三.【布置任务】
6、师生互动探究 问题 1.三个角都相等的三角形是等边三角形。 分析：由等边三角形的的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形。 根据“等角对等边”可以证得。 问题2.证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上。 四.【小组交流】学生展示 1. 证明：如果一个等腰三角形中有一个角等于60，那么这个三角形是 等边三角形。 5 2.已知：如图，ABC 是等边三角形，DEBC，分别交AB 、AC 于 点 D、E。求证： ADE 是等边三角形。 五.【课堂训练】拓展延伸 已知：如图， ABC 、 CDE是等边三角形，B、C、D在同一条直线上，AC 、 BE交于点 M ， AD 、CE交于
7、点 N。证明： BCE ACD, MCE NCD N M E D CB A 拓展： MNC 是什么形状？证明你的想法。 六.【课堂小结】 本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑 惑？ 随堂练习 课外作业 下一节课 预习要求 教 后 记 A B C D E 6 课题1.2 直角三角形（1） 教学目标 1. 能证明并会应用直角三角形全等的“HL”判定定理。 2. 体会转化的数学思想。 3. 逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。 教学重点证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用 教学难点证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用 教学过程复备 一. 【预习指导】
8、 1、直角三角形全等的条件有哪些？ 2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？ 思考 ：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS” 判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据 “ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以 根据“SAS”判定它们全等 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角 )，这两个三角形是 否可能全等呢？ 二.【效果检测】 1.如图 1 (1)，在 ABC 与 ABC中，若 AB AB ，AC AC ， C C 90，这时RtABC 与 RtABC是否全等？ 导学：把 RtABC
9、 与 RtABC拼合在一起，如图 1(2)，因为 ACB ACB 90，所以 B、C(C)、B三点在一条直线上， 因此， ABB 是一个等腰三角形，可以知道B B 根据AAS 公理可 知 RtABC Rt ABC 。 请你按照上面的分析，尝试着完成本题的证明过程。 证明： 反思 ：1.为什么要说明B、C(C)、B三点在一条直线上呢？ 7 D B C A EF O A B C DE 2.前面我们曾用画图剪拼的方法，比较感性的获 得“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形的 全等。”但是， 由于观察并不一定可靠，通过今天严谨 的逻辑证明，我们确信这是一条数学真理。 3.根据勾股定理、SAS 公理
10、你还有其他证明方法 吗？ 三.【布置任务】师生互动探究 问题 1.证明 : 在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 点拨 ：1.我们可以构造如图1(2)的图形中，在等边三角形AB B 中，如果 BA C30，那么 ABC 是一个直角三角形，且BC 2 1 AB。 四.【小组交流】学生展示 问题 2. 如图，在 ABC 中，已知 D 是 BC 中点， DEAB ，DFAC ，垂足 分别是 E、F，DE DF. 求证： AB=AC 点拨： 要证 AB=AC ，只要分别证AE=AF ，BE=CF,因而只要用 ” HL” 证 明 RtAED Rt AFD, Rt BED RtCFD 。 六
11、.【课堂训练】拓展延伸 问题 3 如图， CD AB,BEAC,垂足分别是D、 E, BE、CD相交于点O ，如果 AB=AC ，哪么图中有几对全等的直角三角 形？取其中的一对予以证明。 拓展：直线AO 与线段 BC 有何关系？请说明理由。 七.【课堂小结】 1. 图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直 角三角形）”和“拼把两个直角三角形拼成一个等腰三角形”两种 方法体现了同一种思想转化思想 ，即把待证的问题转化为可证的问 题。 2. 本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定 理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例 子吗？ 随堂练习 课外作业
12、 下一节课 预习要求 教 后 记 8 A D C P BE O A D P B E O 课题1.2 直角三角形（2） 教学目标 1.能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点； 2.从简单的数学例子中了解反证法的含义 3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力 教学重点角平分线的性质定理和逆定理 教学难点角平分线的性质定理和逆定理 教学过程复备 一. 【预习指导】 1. 直角三角形全等的判定方法：_ 。 2. 角平分线的性质定理：_ 。 3. 你能用什么方法作出AOB 的平分线OC？ 二.【效果检测】 1 证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 已知： 求证： 证明
13、： 思考：上述定理用符号语言如何让表示？ 2、证明：角的内部到角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上。 已知： 求证： 证明： 思考：上述定理用符号语言如何让表示？ 三. 【布置任务】师生互动探究 问题 1. “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角 的平分线上。 ”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？ 点拨 ：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离_， 这与已知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。所以_ 链接 ：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是： 否定结论推导出矛盾结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假
14、设； 第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 牛顿曾经说： “反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲， 反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、 “至少”或 9 O E DC B A “至多” 、 “唯一” 、 “无限”形式出现的命题。 问题 2. 如图， ABC的角平分线AD 、BE相交于点O ，点 O到 ABC各边的距 离相等吗？点O在 C的平分线上吗？为什么？ 点拨： 先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。 思考：你能用一个命题概括这一题吗？ 四. 【小组交流】学生展示 问题 3. 如图，已知ABC
15、的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F， 求证：点 F 在 DAE的平分线上 2、如图，在 ABC中，C=90度，点 D在 BC上， DE垂直 平分 AB ， 且 DE=DC 。求 B的度数。 点拨：应用角平分线判定定理和相等垂直平分线性质定理。 五. 【课堂训练】拓展延伸 问题 3. 如图，已知 B=C=90o ， M是 BC中点， MN AD ， 若12，求证3=4 。 拓展：你还有什么发现？ 六. 【课堂小结】 1. 角平分线性质定理及其逆定理的内容是什么？我们是如何证明的? 2. 三角形的三条角平分线交于一点吗？我是然后证明的？ 3. 反证法的一般步骤有哪些？ 4. 你还有哪些困惑
16、？ 随堂练习 课外作业 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 2.1 不等关系 教学目的和要求： E D C B A 1 2 3 4 N M D C B A 10 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1.如图 1-1，用用根长度均为l 的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ （3）当 l=8 时，正方形和圆的面积哪个大？l=12 呢？ （4）改变 l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答： 在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为 2 )
