《二项式定理的练习及答案（2020年10月整理）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理的练习及答案（2020年10月整理）.pptx（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.,二项式定理的练习及答案,基础知识训练 （一）选择题 1 (x 2 )6 展开式中常数项是（ ） x A. 第 4 项 B. 24 C4 C. C4 D.2 66 2(x1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是（ ） A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3 (1 2)7 展开式中有理项的项数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4若Cn 与Cm 同时有最大值，则 m 等于（ ） 17n A.4 或 5 B.5 或 6 C.3 或 4 D.5,01234,0123,5设(2x-3)4= a a x a x 2 a x3 a x 4 ，则 a +a +a +a 的
2、值为（ ）,A.1 B.16 C.-15 D.15 6 (x 3 1 )11 展开式中的中间两项为（ ） x,D. C5 x17 , C5 x13 1111,A. C5 x12 ,C5 x12 B. C6 x9 , C5 x10 C. C5 x13 ,C5 x9 111111111111 （二）填空题,7,3,1,5 2,7在(2x y) 展开式中，x y 的系数是,8 C0 3C1 32 C2 3n Cn nnnn,20,3,1,9. (,5 ) 5,5,10(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是,23 10,11 (1 3x 3x x ) 展开式中系数最大的项是,5,120.991 精
3、确到 0.01 的近似值是,（三）解答题,2104,13求(1+x+x )(1-x) 展开式中 x 的系数,2103,14求(1+x)+(1+x) +(1+x) 展开式中 x 的系数,新疆王 新敞奎 屯,的展开式中的有理项是展开式的第 项新疆 王新敞 奎屯,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,.,1,.,5,若f (x) (1 x)m (1 x)n (m n N) 展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为何值时， x2 的系数最小？ 自然数 n 为偶数时，求证： 1 2C1 C2 2C3 C4 2Cn 1 Cn 3 2n 1
4、nnnnnn,11,x2,19已知( x 2 )n 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式,15已知(1-2x) 展开式中第 2 项大于第 1 项而不小于第 3，求 x 的取值范围新疆 王新敞 奎屯,18求80 被 9 除的余数新疆 王新敞 奎屯,的常数项新疆 王新敞 奎屯,.,2,.,25,20在(x +3x+2) 的展开式中，求 x 的系数,12,21求(2x+1) 展开式中系数最大的项,参考解答：,x,1通项T,6 3 r,r16, Cr x 6r (,2,23,656,)r Cr x 2 2r ，由6 r 0 r 4 ，常数项是T C4 24 ，,选（B）,1
5、1,2设 f(x)=(x-1) , 偶次项系数之和是,2,11,f (1) f (1), (2)/ 2 1024 ，选（C）,r 3通项T Cr ( 2)r Cr 22 ，当 r=0，2，4，6 时，均为有理项，故有理项的项数为 4 r177 个，选（A）,n,17,4要使C 最大，因为 17 为奇数，则n ,22,17 117 1,或n n 8 或 n=9，若 n=8，要,m,8,2,8,m,9,使C 最大，则 m=4，若 n=9，要使C 最大，则m ,22,9 19 1,或m m 4 或 m=5，,综上知，m=4 或 m=5，故选（A）,224,n,5.C 6.C 7.; 8.4 ; 9.
6、3,9,15,21 3 10(2x-1)5 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5 展开式系数之和，故令 x=1，则 5,所求和为 3,23 1030,11(1+3x+3x +x ) =(1+x) ,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是 T =,15 15,30,16 C x,.,5,501,55,12.0.991 =(1-0.009) = C C 0.009 0.96,13 (1 x x2 )(1 x)10 (1 x3 )(1 x)9 ,要得到含 x4 的项，必须第一个因式中的 1 与,9,44,9,39,1,9,(1-x) 展开式中的项C (x) 作积，第一个因式中的x 与
7、(1-x) 展开式中的项C (x) 作,新疆 王新,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,.,3,.,4,14,99,积，故 x 的系数是C C 135,14(1 x) (1 x)2 （1 x）10 ,=,1 (1 x)x,(1 x)1 (1 x)10 ( x 1)11 ( x 1),，原式中 x3,4,7,11,实为这分子中的 x ，则所求系数为C,15由,1 4,10,2,2,1,0,5,1,5, , 5, x 0,x 1, C5 (2x),C ( 2x),C (2x) C, 1 x 1 410,2,222 2,16由条件得 m+n=21，x 的项为C x C x ，
8、则,24,21399,2,22,mnmn,C C (n ) .,因 nN，,故当 n=10 或 11 时上式有最小值，也就是 m=11 和 n=10，或 m=10 和 n=11 时，x2 的系数最小,17原式= (C0 C1 C2 Cn1 Cn ) (C1 C3 C5 Cn1 ) 2n 2n1 3.2n1 nnnnnnnnn 18. 8011 (81 1)11 C 0 8111 C1 8110 C10 81 1 81k 1(k Z ) , 111111,11,10,2 x 2,105r 2,)r (2)r Cr x,x )10 r (,设第 r+1 项为常数项，又 T Cr ( r110,令,
9、2,10 5r,，,2,2, C (, 0 r 2T,2110,2) 180. 此所求常数项为 180,20 (x 2 3x 2)5 (x 1)5 (x 2)5,5,在(x+1) 展开式中，常数项为 1，含 x 的项为,1,5,C 5x,，在(2+x)5 展开式中，常数项为 25=32，,5,含 x 的项为C1 24 x 80 x, ,1212,12, 12,1212,1212 r Cr1,2C,Cr,Cr 212r Cr11211r,Cr 212r Cr1 213r 2Cr1,33, 31 r 4 1 ,r 4,新疆王 新敞奎 屯,新疆王 新敞奎 屯,奎屯,王新敞,新疆,kZ,9k-1Z，
10、81 被 9 除余 8王新敞,新疆 奎屯,19依题意C4 : C2 14 : 3 3C4 14C2 nnnn 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10新疆 王新敞 奎屯,新疆王 新敞奎 屯,展开式中含 x 的项为 1 (80 x) 5x(32) 240 x ，此展开式中x 的系数为 240新疆 王新敞 奎屯 21设 Tr+1 的系数最大，则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数，即有,.,4,.,展开式中系数最大项为第 5 项，T,444,12,5=16C x 7920 x,三.拓展性例题分析,n,例 1在二项式,24 x ,1 ,x 的展开式中，
11、前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有,理项 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决 解：二项式的展开式的通项公式为：,1,n 2r,2n3r 4,r 1n,r, 24 x ,x )nr 1r Cx,T Cr (,前三项的r 0,1,2.,8,11,2,11,2,1,得系数为： t 1, t Cn, t Cn(n 1),3n 4,12n 2,，,1,n 1 n(n 1) ， 8,由已知： 2t2 t1 t3 n 8 通项公式为,4,1,r 1,163r,r 18 2r,T Cr xr 0,1,2 8,T为有理项，故16 3r 是 4 的倍数，, r
12、 0,4,8.,8,9,4,4,15,1,8 28,1,8256,35,8 24,1,x x,T C,依次得到有理项为T x ,T C,2,xx2 ,说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项类 似地，( 2 3 3)100 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有 17 页 系数和为3n 例 2（1）求(1 x)3 (1 x)10 展开式中 x5 的系数；（2）求(x 1 2)6 展开式中的常 x 数项 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以 视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转
13、化为二项式 解：（1）(1 x)3 (1 x)10 展开式中的 x5 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：,.,5,10,用(1 x)3 展开式中的常数项乘以 (1 x)10 展开式中的 x5 项，可以得到C5 x5 ；用,. (1 x)3 展开式中的一次项乘以(1 x)10 展开式中的 x4 项可得到(3x)(C4 x4 ) 3C4 x5 ； 1010 用(1 x)3 中的 x2 乘以(1 x)10 展开式中的 x3 可得到3x2 C3 x3 3C3 x5 ；用 (1 x)3 中的 1010 x3 项乘以(1 x)10 展开式中的 x2 项可得到 3x3 C2 x2 C2 x5 ，合并
14、同类项得 x5 项为： 1010 (C5 C4 3C3 C2 )x5 63x5 10101010,11 2,x,（2） x 2 x x,1 12,1,x,(x 2)5 ,x x ,1 12,x ,由x 展开式的通项公式T,.,6,x ,12,r 112, 1 r,2)12r , Cr (, Cr x6r ，可得展开式,12,的常数项为C6 924 ,说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决 例 3 求(1 x x2 )6 展开式中 x5 的系数 分析：(1 x x2 )6 不是二项式，我们可以通过1 x x 2 (1 x)
15、x 2 或1 (x x2 ) 把它看成二项式展开 解：方法一： (1 x x2 )6 (1 x) x2 6 (1 x6 ) 6(1 x)5 x2 15(1 x)4 x4 其中含 x5 的项为C5 x5 6C3 x5 15C1 x5 6x5 654 含 x5 项的系数为 6 方法二： (1 x x2 )6 1 (x x2 )6 1 6(x x2 ) 15(x x2 )2 20(x x2 )3 15(x x2 )4 6(x x2 )5 (x x2 )6 其中含 x5 的项为20(3)x5 15(4)x5 6x5 6x5 x5 项的系数为 6 方法 3：本题还可通过把(1 x x2 )6 看成 6 个1 x x2 相乘，每个因式各取一项相乘,.,6,可得到乘积的一项， x5 项可由下列几种可能得到5 个因式中取 x，一个取 1 得到C5 x5 ,63,3 个因式中取 x，一个取 x2 ，两个取 1 得到C3 C1 x3 (x2 ) ,65,1 个因式中取 x，两个取 x2 ，三个取 1 得到C1 C2 x (x2 )2 ,66 36 5,合并同类项为(C5 C3C1 C1 C2 )x5 6x5 ， x5 项的系数为 6,例 4求证：（1） C1 2C2 nCn n 2n1 ； nnn,
