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1、高中数学 立体几何建坐标系 1. 如图, 四棱锥 S-ABCD 中,ABCD,BC CD,侧面 SAB为等边三角形 . AB=BC=2, CD=SD=1. ()证明:SD平面 SAB; ()求 AB与平面 SBC 所成的角的大小 . 2. 如图, 在四面体 ABOC 中, OCOA, OC OB, AOB=120 , 且 OA=OB=OC=1. ()设 P为 AC的中点 , Q 在 AB上且 AB=3AQ. 证明:PQOA; ()求二面角 O-AC-B的平面角的余弦值 . 3. 如图, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=4,AA1=7, 点 D是 BC的中点 , 点 E在 AC上,
2、且 DE A1E. ()证明: 平面 A1DE 平面 ACC 1A1; ()求直线 AD和平面 A1DE所成角的正弦值 . 高中数学 4. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=1, AC=AA1=3, ABC=60 . ()证明:ABA1C; ()求二面角 A-A1C-B的大小 . 5. 四棱锥 A-BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形 , 侧面 ABC 底面 BCDE, BC=2, CD=2, AB=AC. ()证明:ADCE; ()设侧面 ABC 为等边三角形 , 求二面角 C-AD-E的大小 . 6. 如图, 正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D 为 C
3、C1中点. ()求证:AB1平面 A1BD; ()求二面角 A-A1D-B的大小 . 7. 如图, 在三棱锥 V-ABC中, VC 底面 ABC, AC BC, D是 AB的中点 , 且 AC=BC=a, 高中数学 VDC= ）（ 2 0. ()求证: 平面 VAB 平面 VCD; ()试确定的值 , 使得直线 BC与平面 VAB所成的角为 6 . 8. 如图, BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形 , 平面 MCD 平面 BCD, AB 平面 BCD, AB=2 . ()求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小 ; ()求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 . 9.
4、如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD 平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC, BCD=90 . ()求证:PCBC; ()求点 A到平面 PBC的距离 . 高中数学 10. 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D为 BB1的中点 , E 为 AB1上的一 点, AE=3EB1. ()证明:DE 为异面直线 AB1与 CD的公垂线 ; ()设异面直线 AB1与 CD的夹角为 45, 求二面角 A1-AC1-B1的大小 . 11. 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形 , SD 底面 ABCD, AD=2,
5、 DC=SD=2. 点 M在侧棱 SC上, ABM=60 . ()证明:M 是侧棱 SC的中点 ; ()求二面角 S-AM-B的大小 . 12. 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB AC, D、E分别为 AA1、B1C的中点 , DE平 面 BCC1. ()证明:AB=AC; ()设二面角 A-BD-C为 60, 求 B1C与平面 BCD 所成的角的大小 . 高中数学 13. 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形 , PD 底面 ABCD, 点 E在棱 PB上. ()求证: 平面 AEC 平面 PDB; ()当 PD=2AB且 E为 PB的中点时 , 求 AE与平面 PD
6、B所成的角的大小 . 14. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形 , PA 平面 ABCD, PA=AD=4, AB=2. 以 BD的中点 O为球心、 BD为直径的球面交 PD于点 M. ()求证: 平面 ABM 平面 PCD; ()求直线 PC与平面 ABM 所成的角 ; ()求点 O到平面 ABM 的距离 . 高中数学 15. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形 , SD 平面 ABCD, SD=2a, AD=a2, 点 E是 SD上的点 , 且 DE=a(00, y0, z0. ( )=(x-2, y-2, z), =(x, y-2, z), =(x-
7、1, y, z), 由|=| 得 =, 故 x=1. 由|=1 得 y 2 +z 2=1, 又由 | |=2 得 x 2 +(y-2) 2+z2=4, 即 y 2+z2-4y+1=0, 故 y= , z=. (3分 )于是 S, =, = =0, =0. 故 DS AS, DSBS, 又 AS BS=S, 所以 SD 平面 SAB. (6 分 ) ( ) 设平面 SBC的法向量a=(m, n, p), 高中数学 则 a, a , a =0, a =0. 又=(0, 2, 0), 故(9 分) 取 p=2 得 a=(-, 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos=. 故 AB与平面 SB
8、C所成的 角为 arcsin. (12分) 2. 解法一 :( )在平面 OAB内作 ON OA交 AB于 N, 连结 CN. 在 AOB中, AOB=120 且 OA=OB, OAB= OBA=30 . 在 RtAON中, OAN=30 , ON= AN. 在 ONB中, NOB=120 -90 =30=OBN, NB=ON=AN. 又 AB=3AQ, Q为 AN的中点 . 在 CAN 中, P, Q分别为 AC, AN 的中点 , PQ CN. 由 OA OC, OAON知 :OA平面 CON. 又 NC ? 平面 CON, OA CN. 由 PQ CN, 知 OA PQ. ( ) 连结
9、PN, PO. 由 OC OA, OCOB知:OC平面 OAB. 又 ON ? 平面 OAB, OC ON. 又由 ON OA知 :ON平面 AOC. OP是 NP在平面 AOC 内的射影 . 在等腰 RtCOA 中, P为 AC的中点 , AC OP. 根据三垂线定理, 知:ACNP. OPN为二面角O-AC-B的平面角 . 在等腰 RtCOA中, OC=OA=1, OP=. 在 Rt AON中, ON=OAtan 30 =, 在 Rt PON中, PN=, cos OPN=. 解法二 :( ) 取 O为坐标原点 , 以 OA, OC 所在的直线为x 轴, z轴, 建立空间直角坐标系O-xy
10、z( 如 图所示 ). 高中数学 则 A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B. P为 AC的中点 , P. =, 又由 已知 , 可得=. 又=+=. =-=, = (1, 0, 0)=0. 故. ( ) 记平面 ABC的法向量n=(n1, n2, n3), 则由 n, n , 且=(1, 0, -1), 得故可取 n=(1, , 1). 又平面 OAC的法向量为e=(0, 1, 0). cos= =. 二面角 O-AC-B的平面角是锐角, 记为 , 则 cos =. 3.( )如图所示 , 由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知 AA1平面 ABC. 又 DE ? 平面 ABC,
11、 所以 DE AA1. 而 DE A1E, AA1 A1E=A1, 所以 DE 平面 ACC1A1. 又 DE ? 平面 A1DE, 故平面 A1DE 平面 ACC1A1. ( )解法一 :过点 A作 AF垂直 A1E 于点 F, 连结 DF. 由( ) 知, 平面 A1DE 平面 ACC1A1, 所以 AF平面 A1DE. 故 ADF是直线 AD和平 面 A1DE所成的角 . 因为 DE 平面 ACC1A1, 所以 DE AC. 而 ABC是边长为4 的正三角形 , 于是 AD=2, AE=4-CE=4- CD=3. 又因为 AA1=, 所以 A1E=4, AF=, sin ADF=. 即直
12、线 AD和平面 A1DE所成角的正弦值为. 解法二 : 如图所示 , 设 O是 AC的中点 , 以 O为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是 A(2, 0, 0), A 1(2, 0, ), 高中数学 D(-1, , 0), E(-1, 0, 0). 易知=(-3, , -), =(0, -, 0), =(-3, , 0). 设 n=(x, y, z)是平面 A1DE的一 个法向量 , 则解得 x=-z, y=0. 故可取 n=(, 0, -3). 于是 cos=-. 由此即知 , 直线 AD和平面 A1DE所成角的正弦值为. 4. 解法一 :( ) 证明 : 三棱柱ABC-A1B
13、1C1为直三棱柱 , AB AA1. 在 ABC中, AB=1, AC=, ABC=60 , 由正弦定理得ACB=30 , BAC=90 , 即 AB AC. AB 平面 ACC1A1, 又 A1C? 平面 ACC1A1, AB A1C. ( ) 如图 , 作 AD A1C交 A1C 于 D点, 连结 BD, 由三垂线定理知BD A1C, ADB为二面角A-A1C-B 的平面角 . 在 RtAA1C中, AD=, 在 RtBAD中, tanADB=, ADB=arctan, 即二面角A-A1C-B 的大小为arctan. 解法二 :( ) 证明 : 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱 , A
14、A1AB, AA1 AC. 在 ABC中, AB=1, AC=, ABC=60 . 由正弦定理得ACB=30 , BAC=90 , 即 AB AC. 如图 , 建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, , 0), A1(0, 0, ), =(1, 0, 0), =(0, , -). =10+0+0 (-)=0, AB A1C. 高中数学 ( ) 如图 , 可取 m=(1, 0, 0)为平面 AA1C的法向量 , 设平面 A1BC的法向量为n=(l, m, n), 则n=0, n=0, 又=(-1, , 0), l=m, n=m. 不妨取 m=1, 则
15、n=(, 1, 1). cos=, 二面角A-A1C-B 的大小为arccos. 5. 解法一 :( ) 作 AO BC, 垂足为 O, 连结 OD, 由题设知 , AO底面 BCDE, 且 O为 BC中点 . 由= =知, Rt OCD RtCDE, 从而 ODC= CED, 于是 CE OD. 由三垂线定理知, AD CE. ( ) 作 CG AD, 垂足为 G, 连结 GE. 由( ) 知, CE AD. 又 CE CG=C, 故 AD 平面 CGE, AD GE, 所以 CGE是二面角C-AD-E 的平面角 . GE=, CE=, cosCGE=-. 所以二面角C-AD-E 为 arc
16、cos. 解法二 :( ) 作 AO BC, 垂足为 O. 由题设知AO 底面 BCDE, 且 O为 BC的中点 . 以 O为坐标原点 , 射线 OC为 x 轴正向 , 建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设 A(0, 0, t). 由已知条件有C(1, 0, 0), D(1, , 0), E(-1, , 0), =(-2, , 0), =(1, , -t). 所以=0, 知 AD CE. ( ) ABC为等边三角形 , 因此 A(0, 0, ). 作 CG AD, 垂足为 G, 连结 CE. 在 RtACD中, 高中数学 求得 |AG|=|AD|. 故 G, =, 又=(1, , -), =0, =0. 所以与的夹角等于二面角C-AD-E的平面角 . 由 cos= =-知二面角C
