《复变函数（练习题习题3.3）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数（练习题习题3.3）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、大学数学 习题 3.3 1计算下列积分，其中积分闭路取正向. （1） 3 |1| 1 1 z dz z 解： 2 3 |1| 1|1| 1 2 1 1/(1) 11 1 2 1 2 3 zz z dzzz dz zz i zz i （4） 44 | | 1 (2) z dz z z 解： 大学数学 4 444 | | 1| | 1 4 0 7 1/(2) (2) 21 3!(2) 120 3(02) 5 16 zz z dzz dz zzz i z i i （6） 41 | | 2 sin () n z zdz zi 解： (4 ) 41 | | 2 sin2 sin ()(4 )! 2 si
2、n (4 )! 2 sin (4 )! 2 sh1 (4 )! n n z i z z i zdzi z zin i z n i i n n 大学数学 （8） 4 3 | | 2 (1)(2)(16) z dz zzz 解： 被积函数 4 1 (1)(2)(16)zzz 有 6 个奇点， 只 有1z在 圆 | 3/ 2z 的 内 部 ， 于 是 函 数 4 1 (2)(16)zz 在 闭 圆 域| |3/ 2z上 解 析 ， 则 由 Cauchy 积分公式得 4 4 33 | | | 22 4 1 1/(2)(16) (1)(2)(16)1 1 2 (2)(16) 2 51 zz z dzzz
3、 dz zzzz i zz i 大学数学 4. 用 Cauchy 积分公式计算函数 ( )/ z f zez沿正向 圆周 | | 1z 的积分值，然后利用圆周 | 1z 的参数 方程 () i ze 证明下面积分 cos 0 cos(sin ).ed （1）解：函数 ( )/ z f zez的奇点 0z在积分 路径| | 1z的内部，而函数 z e在闭区域| 1z上解 析，于是由Cauchy 积分公式得 0| | 1 22. z z zz e dzi ei z （ 2 ） 证 明 ： 圆 周 | | 1z 的 参 数 方 程 为 () i ze ，在它上有 ( ), i zie 于是 大学数学
4、 | | 1 cossin cos coscos coscos 2 cos(sin )sin(sin ) sin(sin)cos(sin ) sin(sin )cos(sin ) i zei i z i ee ie idzd ze eid eiid eied edied 比较等式两边的虚部得 cos cos(sin )2ed 又 cos 0 coscos 0 0 cos()cos 0 0 coscos 0 coscos 0 cos(sin ) cos(sin )cos(sin ) cos(sin() ()cos(sin ) cos(sin )cos(sin ) cos(sin)cos(sin
5、) ed eded eded eded eded 0 cos 0 2cos(sin )ed 所以 大学数学 cos 0 cos(sin ).ed 7. 由下面所给调和函数求解析函数 ( ).f zuiv （2） (cossin ),(0)0; x uexyyyf 解：对 u 求偏导数有 ( cossincos ), (sinsincos ), x x x y uexyyyy ueyxyyy 解法 1：由 Cauchy-Riemann条件得 (sinsincos ), (cossincos ), x x x y veyxyyy vexyyyy 对第一式两边对x 积分得 (sinsincos )
6、(1)sin(sincos )( ) (sincos )( ) x xx x veyxyyy dx xeyeyyyg y exyyyg y 两边对 y 求导，并且与上面所得 y v 比较有 (coscossin )( ) (cossincos ) x y x vexyyyyg y exyyyy 大学数学 于是得 ( )0,gy 即 ( ),g yc 其中 c 为任意实常数 . 从而 (sincos ) x vexyyyc， 即 ( )( cossin )( sincos ) xx z f zexyyyi exyyyc zeci 由于 (0)0,f 代入上式得0,c所以 ( ). z f zze
7、 解法 2：由 Cauchy-Riemann方程和解析函数 的求导公式可得 ( ) (cossincos ) (sinsincos ) (1) xxxy x x z fzuivuiu exyyyy ieyxyyy ez 于是 0 ( )(1), z zz f ze zdziczeic 其中 c 为任意实常数 . 由于(0)0,f代入上式得0,c所以 大学数学 ( ). z f zze （4） 22 /(),(2)0.vyxyf 解：对 v 求偏导数有 22 222222 2 , ()() xy xyxy vv xyxy 解法 1：由 Cauchy-Riemann条件得 22 222222222
8、 22 , ()()() xy xyxyxy uu xyxyxy 对第二式两边对y 积分得 222 22 2 () ( ) xy udy xy x g x xy 两边对 x 求导，并且与上面所得x u 比较有 22 222 22 222 ( ) () () x xy ug x xy xy xy 大学数学 于是得 ( )0,g x 即 ( ),g xc 其中 c 为任意实常数 . 从而 22 x uc xy ， 即 2222 1 ( ) xy f zcic xyxyz ， 由于 (2)0,f 代入上式得1/ 2,c所以 11 ( ). 2 f z z 解法 2：由 Cauchy-Riemann方
9、程和解析函数 的求导公式可得 22 222222 2 ( ) 2 + ()() 1 xxyx fzuivviv xyxy i xyxy z 于是 大学数学 2 1 11 ( )1, z f zdzcc zz 其中 c 为任意实常数 . 由于 (2)0,f 代入上式得1/ 2,c所以 11 ( ). 2 f z z 10. 设( )f z和( )g z在简单闭路C 上及其内部解析， 试证： （1）若 ( )f z 在 C 上及其内部处处不为零，则有 ( ) 0; ( ) C fz dz f z （2）若在 C 上有 ( )( ),f zg z 则在 C 的内部有 ( )( ).f zg z 证明： （1）因为 ( )f z 在简单闭路C 上及其内 部解析并且处处不为零，则 ( ) ( ) fz f z 在简单闭路C 上 及其内部处处解析，于是由Cauchy 积分定理得 大学数学 ( ) 0; ( ) C fz dz f z （2） 若对于 C上的任意一点有()( ),fg 由于( )f z和( )g z在简单闭路C 上及其内部解析， 则对于 C 的内部的任意一点z，由 Cauchy 积分公 式得 1()1( ) ( )( ), 22 CC fg f zddg z iziz 所以在 C 的内部有 ( )( ).f zg z
