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1、诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一 ： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （ 2k ） sin （ kZ） cos （ 2k ） cos （ k Z） tan （ 2k ） tan （k Z） cot （ 2k ） cot （ k Z） 公式二： 设 为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式三： 任意角与-的三角函数值之间的关系： sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式四： 利用公式二和
2、公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系： sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系： sin （ 2 ） sin cos （ 2 ） cos tan （ 2 ） tan cot （ 2 ） cot 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系： sin （ /2 ） cos cos （ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （ /2 ） cos cos （ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot
3、（ /2 ） tan sin （ 3/2 ） cos cos （ 3/2 ） sin tan （ 3/2 ） cot cot （ 3/2 ） tan sin （ 3/2 ） cos cos （ 3/2 ） sin tan （ 3/2 ） cot cot （ 3/2 ） tan (以上 k Z) 注意：在做题时，将a 看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 上面这些诱导公式可以概括为： 对于 /2*k (k Z) 的三角函数值， 当 k 是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变； 当 k 是奇数时，得到相应的余函数值，即sin cos;cos sin;tan cot,cot tan. （奇
4、变偶不变） 然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2 )sin(4 /2 ) ， k 4 为偶数，所以取sin 。 当 是锐角时，2 (270 ，360)， sin(2 ) 0，符号为“ ” 。 所以 sin(2 ) sin 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把视为锐角时，角k360+（ k Z）， - 、 180 ， 360- 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“ 一全正；二正弦(余割 )； 三两切；四余弦(正割 ) ” 这十二字口诀的意思就是
5、说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ ” ； 第二象限内只有正弦是“ ” ，其余全部是“ ” ； 第三象限内切函数是“ ” ，弦函数是“ ” ； 第四象限内只有余弦是“ ” ，其余全部是“ ” 上述记忆口诀,一全正 ,二正弦 ,三内切 ,四余弦 还有一种按照函数类型分象限定正负： 函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限 正弦. . . . . 余弦. . . 正切. . . . 余切. . . . 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商的关系： sin /cos tan sec/csc cos/s
6、in cot csc/sec 平方关系： sin2( ) cos2( ) 1 1 tan2( ) sec2( ) 1 cot2( ) csc2( ) 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin （ ） sin cos cossin sin （ ） sin cos cossin cos （ ） coscos sin sin cos （ ） coscos sin sin tan （ ） (tan +tan ) (1- tan tan ) tan （ ） (tan tan ) (1 tan tan ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2 2sin cos cos2
7、 cos2( ) sin2( ) 2cos2( ) 1 1 2sin2() tan2 2tan /1 tan2( ) 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin2( /2) (1 cos) 2 cos2( /2) (1 cos) 2 tan2( /2) (1 cos) (1 cos) 另也有tan( /2)=(1 cos)/sin =sin /(1+cos ) 万能公式 万能公式 sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2( /2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1 -tan2( /2) 万能公式推导 附推导： sin2 =
8、2sin cos=2sin cos/(cos2()+sin2().*， （因为cos2( )+sin2( )=1） 再把 *分式上下同除cos2( ) ，可得sin2 2tan/(1 tan2( ) 然后用/2代替 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角推导可借助二倍角公式，可以自行证明 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3 3sin 4sin3() cos3 4cos3( ) 3cos tan3 3tan tan3( ) 1 3tan2( ) 三倍角公式推导 附推导： tan3 sin3 /cos3 (sin2 cos cos2sin )
9、/(cos2 cos -sin2 sin ) (2sin cos2( ) cos2( )sin sin3( )/(cos3() cossin2( ) 2sin2( )co s) 上下同除以cos3( ) ，得： tan3 (3tan tan3( )/(1-3tan2( ) sin3 sin(2 ) sin2 cos cos2sin 2sin cos2( ) (1 2sin2( )sin 2sin 2sin3( ) si n 2sin3( ) 3sin 4sin3( ) cos3 cos(2 ) cos2cos sin2 sin (2cos2( ) 1)cos 2cossin2( ) 2cos3
10、( ) cos (2cos 2cos3( ) 4cos3( ) 3cos 即 sin3 3sin 4sin3() cos3 4cos3( ) 3cos 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sin sin 2sin( )/2cos( )/2 sin sin 2cos( )/2sin( )/2 coscos 2cos( )/2cos( )/2 coscos 2sin( )/2sin( )/2 积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sin cos 0.5sin( ) sin( ) cos sin 0.5sin( ) sin( ) cos cos 0.5cos( ) cos( ) sin sin 0
11、.5cos( ) cos( ) 和差化积公式推导 首先 ,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理 ,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的 ,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以 ,把两式相加,我们就可以得到cos(a
12、+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理 ,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公 式. 我们把上
13、述四个公式中的a+b 设为 x,a-b 设为y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 其他概念 cos(arcsinx)= 2 1x sin(arccosx)= 2 1x sin(acrtanx)= 2 1x x cos(arctanx)= 2 1 1 x 正割： secx= xcos 1 余割：cecx= xsin 1
