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1、双曲线中焦点三角形的探索 基本条件： 1：该三角形一边长为焦距2c，另两边的差的约对值为定值2a。 2：该三角形中由余弦定理得 |2 | cos 21 2 21 2 2 2 1 21 PFPF FFPFPF PFF结合定义，有 |24|2|21 2 21 2 21 2 2 2 1PFPFaPFPFPFPFPFPF 性质一、设若双曲线方程为 22 22 xy 1 ab （a0，b0） ， F1,F2 分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有： 若 12 FPF, 则 12 2 F PF Sb cot 2 V ； 特 别 地 ， 当 12 FPF90 o 时，有 12 2 F PFSbV 。
2、 证明：记 2211 | ,|rPFrPF ，由双曲线的定义得 .4)(,2 22 2121arrarr 在 21PF F 中，由余弦定理得： .)2(cos2 2 21 2 2 2 1 crrrr 配方得： .4cos22)( 2 2121 2 21 crrrrrr 即 .4)cos1(24 2 21 2 crra . cos1 2 cos1 )(2 222 21 bac rr 由任意三角形的面积公式得： 2 cot 2 sin2 2 cos 2 sin2 cos1 sin sin 2 12 2 22 21 21 bbbrrS PFF . . 2 cot 2 21 bS PFF 特别地，当9
3、0时，2 cot 1，所以 12 2 F PF Sb V 同理可证，在双曲线 1 2 2 2 2 b x a y （ a 0，b 0）中，公式仍然成立 . 例 4 若 P是双曲线 1 3664 22 yx 上的一点， 1 F 、 2 F 是其焦点，且 60 21PF F ，求 21PF F 的面积 . 解法一：在双曲线 1 3664 22 yx 中， ,10,6,8cba 而 .60 记 .| ,| 2211 rPFrPF 点 P在双曲线上， 由双曲线定义得： .162 21 arr 在 21PF F 中，由余弦定理得： .)2(cos2 2 21 2 2 2 1 crrrr 配方，得： 21
4、 2 21 )(rrrr 400 .256400 21r r 从而 .144 21r r .336 2 3 144 2 1 sin 2 1 21 21 rrS PFF 解法二： 在双曲线 1 3664 22 yx 中， 36 2 b ，而 .60 33630cot36 2 tan 2 21 bS PFF 考题欣赏 （2010 全国卷 1 理） (9) 已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在 C上， P=， 则P到x轴的距离为 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B （2010 全国卷 1 文） （8）已知、为双曲线C:的左、右焦点， 点 P 在 C 上， =，则 (A)2 (B)4 (C
5、) 6 (D) 8 【答案】 B 【解析 1】. 由余弦定理得cosP= 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 3 2 6 2 36 1 F 2 F 22 1xy 1 FP 2 F 0 60 12 | |PFPFg 1 F 2 F 222 1212 12 | 2| PFPFF F PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFF F PF PFPF PF 4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 4 性质一推论：在双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （ a 0，b0）中，左右焦点分别为
6、1 F 、 2 F ，当点 P 是 双 曲 线 左 支 上 任 意一 点 ， 若 21F PF ， 则 cos sin 2 21 ca cb S PFF . 特 别 地 ， 当 90 21F PF 时， 有 a cb S PFF 2 21 。 当点 P是双曲线右支上任意一点，若 21F PF （ 双曲线渐近线的倾斜角），则ac cb SPFF cos sin 2 21 证明： i 、当P 为左支上一点时，记 2211 | ,|rPFrPF （ 21 rr ） ，由双曲线的定义得 arrarr2,2 1212 ， 在 21PF F 中，由余弦定理得： .cos44 2 21 2 2 1rcrcr
7、 代入得 .)2(cos44 2 11 22 1 arcrcr 求得 cos 2 1 ca b r 。 cos sin sin2 cos2 1 sin 2 1 22 211 21 ca cb c ca b FFrS PFF 得证 特别地，当90时， a cb S PFF 2 21 ii、 当P 为右支上一点时，记 2211 | ,|rPFrPF （ 21 rr ） ，由双曲线的定义得 arrarr2,2 1221 ， 在 21PF F 中，由余弦定理得： .cos44 2 21 2 2 1rcrcr 12 | |PFPFg 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60
8、22222 F PF SbPFPFPFPF 12 | |PFPFg 代入得 .)2(cos44 2 11 2 2 1 arcrcr 求得 ac b r cos 2 1 。 ac cb c ac b FFrSPFF cos sin sin2 cos2 1 sin 2 1 22 211 21 得证 例 5 （1）若 P是双曲线 1 3664 22 yx 左支上的一点， 1 F 、 2 F 是其焦点，且 60 21F PF ， 求 21PF F 的面积 . （2）若 P是双曲线 1 4 2 2y x 右支上的一点， 1 F 、 2 F 是其焦点，且 60 21F PF ，求 21PF F 的面积 .
9、 （ 1 ） 解 法 一 ： 在 双 曲 线 1 3664 22 yx 中 ， ,10,6,8cba 而 .60 记 .| ,| 2211 rPFrPF 点 P在双曲线上， 由双曲线定义得： 1212 16.162rrarr 在 21PF F 中，由余弦定理得： .cos44 2 21 22 1rcrcr .)16(60cos40400 2 11 2 1 rrr 解得： 13 36 1 r .3 13 180 2 3 20 13 36 2 1 sin 2 1 211 21 FFrS PFF 解法二： 在双曲线 1 3664 22 yx 中， ,10,6,8cba 36 2 b ，而 .60 3
10、 13 180 60cos108 60sin1036 cos sin 2 21 ca cb SPFF （ 2 ） 解 法 一 ： 在 双 曲 线 1 4 2 2 y x 中 ， ,5,2, 1cba 而.60记 .| ,| 2211 rPFrPF 点 P在双曲线上， 由双曲线定义得： 2.22 1221 rrarr 在 21PF F 中，由余弦定理得： .cos44 2 21 2 2 1 rcrcr .)2(60cos5420 2 11 2 1 rrr 解得： )25(81r 158320 2 3 52)25(8 2 1 sin 2 1 211 21 FFrS PFF 解法二： 在双曲线 1
11、3664 22 yx 中， ,10,6,8cba 36 2 b ，而 .60 160cos5 60sin54 cos sin 2 21 ac cb S PFF 158320 性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2中， 1221 PFF,PFF, 当点 P在双曲线右支上时，有 e1 tancot; 22e1 当点 P在双曲线左支上时，有 e1 cottan 22e1 证明：由正弦定理知 2112 |F P |FP | FF | sinsinsin() 由等比定理，上式转化为 2112 | F P| FP | FF | sinsinsin() 2a2c sinsinsin() 2sincossinsincoscossin csin() 2222222 asinsin 2cossinsinsincoscossin 2222222 分子分母同除以 cossin 22，得 tancot1 e 1 22 etancot 22e 1 tancot1 22
