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1、第 7 章线性变换 7.1 知识点归纳与要点解析 一线性变换的概念与判别 1. 线性变换的定义 数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换， 如果对V中任意的元素,和数 域P中的任意数 k，都有： ， kk 。 注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2. 线性变换的判别 设为数域 P上线性空间V的一个变换，那么： 为V的线性变换klkl,V, k,lP 3. 线性变换的性质 设V是数域P上的线性空间，为V的线性变换， 12s ,VL。 性质 1. 00,; 性质 2.若 12s ,L线性相关，那么 12s ,L也线性相关。 性质 3.设线性变换为单射，如果 12s ,L线性无
2、关， 那么 12s ,L 也线性无关。 注：设V是数域P上的线性空间， 12 , m L， 12 , s L是V中的两个向量组， 如果： 11111221 221 12222 1122 ss ss mmmmss ccc ccc ccc L L LLL L 记： 11211 12222 1212 12 , m m ms ssms ccc ccc ccc L L LL MMM L 于是，若dim Vn， 12 , n L是V的一组基，是V的线性变换， 12 , m L 是V中任意一组向量，如果： 11111221 22112222 1122 nn nn mmmmnn bbb bbb bbb L L
3、 LLL L 记： 1212 , mm LL 那么： 11211 12222 1212 12 , m m mn nnmn bbc bbc bbc L L LL MMM L 设 11211 12222 12 m m nnmn bbc bbc B bbc L L MMM L ， 12 , m L是矩阵B的列向量组，如果 12 , r iii L是 12 , m L的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么 12 , r iii L就 是 12 , m L的一个极大线性无关组，因此向量组 12 , m L的 秩等于秩B。 4. 线性变换举例 （1）设V是数域P上的任一线性空间。 零变换：00
4、,V； 恒等变换： ,V。 幂零线性变换：设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使 得 m 0，就称为幂零变换。 幂等变换：设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果 2 ，就称为幂等 变换。 （2） n VP, 任意取定数域P上的一个n级方阵A，令： 111 222n nnn xxx xxx A,P xxx MMM 。 （3）VP x，Dfxfx ,fxP x。 （4） n n VP， ij Aa是V中一固定矩阵， n n XAX ,XP。 二线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法 （1） 定义：设V是数域P上的线性空间，,是V的两个线性变换，定义它们的和 、乘积分别
5、为：对任意的V ， 任取kP，定义数量乘积k为：对任意的V kk 的负变换-为：对任意的V -=- 则、k与-都是V的线性变换。 （2）L V=为V的线性变换 ，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线 性空间。 2. 线性变换的矩阵 （1）定义： 设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换， 12 , n L是V的 一组基，如果： 11111221 22112222 1122 nn nn nnnnnn aaa aaa aaa L L LLL L 那么称矩阵 11211 12222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa L L MMM L 为线性变换在基 12 , n L下
6、的矩阵。 此时： 121212 , nnn ALLL （2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵： 设 12 , n L是数域P上的n维线性空间V的一组基，,L V，设 它们在 12 , n L下的矩阵分别为A,B。 1）: n n fL VP，Aa是数域P上的线性空间L V到数域P上的线性空 间 n n P 的同构映射，因此 n n L VP。 2）可逆 A可逆 3）、与-在基 12 , n L下的矩阵分别为AB,AB与A； 任取kP，k在基 12 , n L下的矩阵为kA； 若为可逆线性变换，则 1 在基 12 , n L下的矩阵为 1 A ； 设 1 110
7、 mm mm fxa xaxa xaL为数域P上的任一多项式，那么 1 110 mm mm faaaaL（为V的 恒 等 变 换 ） 在 基 12 , n L下的矩阵为： 1 110 mm mmn fAa AaAa Aa EL。 三特征值、特征向量与对角矩阵 1. 矩阵的特征值与特征向量 （1）矩阵的特征多项式：设A为n级复方阵，将多项式 An fEA称为A的特征 多项式。 注： 1 ）若 ij nn Aa，则： 1 1122 11LL n nn Annn fEAaaaA 1 1 tr1L n nn AA 2) 将 n EA称为矩阵A的特征矩阵，0 n EA称为矩阵A的特征方程。 （2） 定义
8、：n级方阵 A的特征多项式 An fEA在复数域上的所有根都叫做其特 征值（根），设 0 C是A的特征值，齐次线性方程组0 n EA X的每个非零 解都叫做矩阵A的属于其特征值 0的特征向量。 （3）求法： 1）求 An fEA在复数域上的所有根 12 L n ,（重根按重数计算） ； 2） 对1L k k,n解 齐 次 线 性 方 程 组0 kn EA X， 得 其 一 个 基 础 解 系 12, ,L k kkk l （ k ln秩 kn EA） ，则矩阵A的属于特征值 k 的全部特 征向量为 1122, L kk kkkkk lk l sss，其中 12, ,L k kkk l sss为
9、不全为零的任意常 数（复数）。 （4） 重要结论： 1）设 0 C是A的特征值， 0 X是A的属于其特征值 0 的特征向量，g x为一复 系数多项式。 0 g为g A的特征值， 0 X为g A的属于特征值 0 g的特征向量； 如果A还是可逆矩阵，那么 0 1 与 0 A 分别为 1 A和A的特征值， 0 X为 1 A的属 于特征值 0 1 的特征向量， 0 X为A的属于特征值 0 A 的特征向量， 若 12 L n ,是矩阵A的全部特征值， 那么 12 L n g,g,g就是g A 的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则 12 111 L n ,为 1 A的全部特征值， 12 L n AAA ,
10、为A的全部特征值； 2） 若 12 L n ,是 矩 阵A的 全 部 特 征 值 ， 那 么 12 trL n A， 12Ln A。 2. 线性变换的特征值与特征向量 （1）定义： 设是数域P上的线性空间V的线性变换， 0 P，若存在0V，使得 0 ，就称 0为 的一个特征值，为的一个属于特征值 0的特征向量。 （2）线性变换的特征多项式 设是数域P上的n维线性空间V的线性变换， 任取V的一组基 12 , n L，设 在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式 n EA为的特征多项式，记为 n fEA，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。 （3）求法： 设是数域 P上的n维线
11、性空间V的线性变换。 1）取定V的一组基 12 , n L，求出在该基下的矩阵A； 2）求 n fEA在P中的所有根 12 L m ,（0mn，重根按重数计算， 且0m表示无特征值）。 3） 若 0m ，对1L k t,s解齐次线性方程组0 kn EA X，得其一个基础 解系 12, ,L k kkk l （ k ln秩 kn EA） ，则线性变换的属于特征值 k 的 全 部 特 征 向 量 为 121122, ,LL kk nkkkkk lk l sss， 其 中 12, ,L k kkk l sss为P中不全为零的任意常数。 3. 矩阵相似 （1）定义： 设A,B是数域P上的两个n级方阵，
12、如果存在数域P上的n级可逆矩阵T， 使得 1 TATB，就称矩阵A相似于矩阵B，记为:AB。 （2）性质： 1）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C都是n级方阵，那么： :AA； 若:AB，那么:BA； 若:AB且:BC，则:AC。 2） 若 :AB， 那么 AnBn fEAfEB， 因此矩阵 A与矩阵B有 相同的特征值，相同的迹（trtrAB） ，相同的行列式（AB） 。 3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。 （3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。 （4）若 1 TATB，那么 1kk BTA T ,kZ。 4. 线性变换与矩阵可对角化 （1）矩阵可对角化 1）设A
13、是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵 T，使得 1 TAT为对角阵，则称A可对 角化。 2）n级方阵A可对角化A有n个线性无关特征向量。 3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。 4）设 12 L k ,是n级方阵A的所有不同的特征值， 12 12 L k lll Ank fEA 称1 2 L i li, ,k为 i 的代数重数； 称 i sn秩1 2L in EAi, ,k为 i 的几何重数； 1 2 L ii sli, ,k； n级方阵 A可对角化对1 2 Li, ,k都有 i 的代数重数 = i 的几何重数。 注： 1.设齐次线性方程组0 in EA X的解空间为 i W，则di
14、m ii sW 2.称 i n i VCA为n级方阵A的属于特征值 i 的特征子空间，那么 dim i i sV （2）线性变换可对角化 1） 设是数域P上的n维线性空间V的线性变换， 如果存在V的一组基， 使得在 该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。 2） 数域P上的n维线性空间V的线性变换可对角化有n个线性无关特征向 量。 3）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换， 如果有n个不同的特征值， 则 可对角化。 4 ）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，在V的一组基下的矩阵为A， 设 12Lk ,是n级方阵A的所有不同的特征值。 若 12 L k ,P，那么： 可对角化对1 2Li, ,
15、k都有 i 的代数重数 = i 的几何重数。 若 12 L k ,不全在数域P中，则不可对角化。 注： i 的几何重数 =dim i V，其中 i i VV为的属于特征值 i 的特征子空间。 四线性变换的值域与核 1. 定义： 设是数域 P上的线性空间V 的线性变换，将 1 00V， VV分别称为线性变换的核与值域 （ 1 0与V也分别记为ker 与Im） 。 2. 线性变换的秩与零度： V与 1 0 都是V的子空间，将 dimV 与 1 dim0 分别称为的秩和零度。 3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核 设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换， 12 , n L为V的一组基， 在
16、该基下的矩阵为A，r秩A， 1122nn aaaVL。 1） 1 21 0 n a a a M 是齐次线性方程组0AX的解。 2 ） 若 12 ,L n r 是0AX的 一 个 基 础 解 系 ， 那 么 12 ,L n r （ 其 中 12 ,1,2,LL knk knr）就是 1 0 的一组基，于是： 1 dim0nr 1 12112212 0 n rn rnrn r L,kkkk ,k ,kPLLL 因此的秩和零度为nr。 3 ） 12n VL,L 于 是 12 L n ,的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 就 是V的 一 组 基 ， 而 12 L n ,的秩等于秩A=r，所以dimVr，即的秩为 秩A=r。 4） 1 dimdim0Vn。 3. 求法： 设V是数域P上的n维线性空间，是V
