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1、1 / 9 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 数学（文科）答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】解：1,2,4,6,81,2,3,5,6,71,2,6MN，MN 1,2,6 ，即MN中元素的个数 为 3. 【提示】根据M 与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可. 【考点】交集及其运算，集合中元素个数的最值. 2.【答案】 D 【解析】解：角的终边经过点( 4,3)，4x，3y， 22 5rxy. 44 cos 55 x r ，故选： D 【提示】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值 . 【考点】任意角的三角函数的定义 . 3.【答案】 C 【解
2、析】解：由不等式组 (2)0 | 1 x x x 可得 20 11 xx x 或， ，解得01x，故选： C 【提示】 解一元二次不等式、绝对值不等式， 分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集， 即得所求 . 【考点】一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，不等式组的解法. 4.【答案】 B 【解析】解：如图，取AD 中点 F，连接 EF， CF， E 为 AB 的中点，EFBD，则CEF为异面直线 BD 与 CE 所成的角，ABCD 为正四面体， E，F 分别为 AB， AD 的中点， CECF. 设正四面体的棱长为2a，则EFa， 22 (2 )3CECFaaa. 在CEF中，由余
3、弦定理得： 222 3 cos 26 CEEFCF CEF CE EF . 故选： B 2 / 9 【提示】由E 为 AB 的中点，可取AD 中点 F，连接 EF，则CEF为异面直线CE 与 BD 所成角，设出正四 面体的棱长，求出CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值. 【考点】异面直线及其所成的角. 5.【答案】 D 【解析】解： 3 ln(1)yx， 3 1exy， 即 3 e1xy， 3 (e1) y x， 所求反函数为 3 (e1) x y， 故选： D 【提示】由已知式子解出x，然后互换x、y 的位置即可得到反函数. 【考点】反函数. 6.【答案
4、】 B 【解析】 解：由题意可得， 1 1 1cos60 2 a b， 2 1b ， 2 2 (2)22| |0ab ba bbabb ，故 选： B 【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 a b 、 2 b 的值，可得(2)abb的值 . 【考点】平面向量数量积的运算. 7.【答案】 C 【解析】解：根据题意，先从6 名男医生中选2 人，有 2 6 15C种选法，再从5 名女医生中选出1 人，有 1 55C种选法，则不同的选法共有 15 575种.故选 C 【提示】根据题意，分2 步分析，先从6 名男医生中选2 人，再从5 名女医生中选出1 人，由组合数公式 依次求出每一步的情况数
5、目，由分步计数原理计算可得答案. 【考点】排列、组合及简单计数问题，排列、组合的实际应用. 8.【答案】 C 【解析】解：由等比数列的性质可得 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列，即3，12， 6 15S成等比数列，可 得 2 6 123(S15)，解得 6 63S.故选： C 3 / 9 【提示】由等比数列的性质可得 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列，代入数据计算可得. 【考点】等比数列的前n 项和 . 9.【答案】 A 【 解 析 】 解 ： 1AF B的 周 长 为43， 44 3a， 3a， 离 心 率 为 3 3 ， 1c， 22 2bac ，椭圆C 的方程为
6、22 1 32 xy . 【提示】利用 1AF B的周长为4 3，求出3a，根据离心率为 3 3 ，可得1c，求出 b，即可得出椭圆 的方程 . 【考点】椭圆的简单性质. 10.【答案】 A 【解析】解：设球的半径为R，则 棱锥的高为4，底面边长为2， 222 (4)( 2)RR， 9 4 R，球的表面积为 2 981 4 44 . 故选： A 【提示】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高 1 PO上，记为O，求出 1 PO， 1 OO，解出球的半径， 求出球的表面积. 【考点】球内接多面体，球的体积和表面积. 11.【答案】 C 【解析】解： ： 22 22 1(00) xy ab ab
7、 ，的离心率为2，2 c e a ，双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 不妨取 b yx a ，即 0bxay ，则2ca， 22 3bcaa ，焦点 ( ,0)F c 到渐近线 0bxay 的距离 为3， 22 3 bc d ab ，即 22 333 3 22 3 a cacc a aa ，解得2c，则焦距为24c，故选： C. 【提示】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论. 【考点】双曲线的简单性质. 4 / 9 12.【答案】 D 【解析】解： (2)f x为偶函数，( )f x是奇函数，(2)(2)(2)fxf xf x， 即(4 )()f xf x，
8、 (8)( )f xf x，则(8)(0)0ff，(9)(1)1ff，(8)( )fxf x，故选： D 【提示】根据函数的奇偶性的性质，得到(8)( )fxf x，即可得到结论. 【考点】函数的值，函数的奇偶性，函数的周期性. 二、填空题 13.【答案】160- 【解析】 解：根据题意， 6 (2)x的展开式的通项为 66 166 ( 2)( 2)( 1) 2 rrrrrrrr r TC xC x，令63r 可得3r，此时 33333 46( 1) 2160TCxx，即 3 x的系数是160-.故答案为160-. 【提示】根据题意，由二项式定理可得 6 (2)x的展开式的通项，令x 的系数为
9、 3，可得3r，将3r代入 通项，计算可得 3 4160Tx，即可得答案. 【考点】二项式定理. 14.【答案】 3 2 【解析】解：函数 2 2 13 cos22sin2sin2sin12 sin 22 yxxxxx ，当 1 sin 2 x时，函数 y 取得最大值为 3 2 ，故答案为： 3 2 . 【提示】 利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 2 13 2 sin 22 yx ，再根据正弦函数的值域、二次 函数的性质求得函数的最大值. 【考点】正弦函数的定义域和值域，二次函数在闭区间上的最值. 15.【答案】 5 【解析】解：由约束条件 0 23 21 xy xy xy 作出可行域如
10、图， 5 / 9 联立 0 23 xy xy ，解得(1,1)C. 化目标函数 4zxy为直线方程的斜截式，得 1 44 z yx. 由图可知，当直线 1 44 z yx过 C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z最大 . 此时 max 1415z.故答案为： 5. 【提示】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优 解的坐标，代入目标函数得答案. 【考点】简单线性规划. 16.【答案】 4 3 【解析】解：设 1 l 与 2 l 的夹角为2，由于 1 l 与 2 l 的交点 (1,3)A在圆的外部，且点A 与圆心 O 之间的距离为 1910OA，圆
11、的半径为2r ， 2 sin 10 r OA ， 2 2 cos 10 ， sin1 tan cos2 ， 2 1 4 2tan14 tan2 1tan13 ，故答案为： 4 3 . 【提示】设 1 l 与2 l 的夹角为2，由于1 l 与2 l 的交点 (1,3)A在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得 sin r OA 的值，可得cos、tan的值，再根据 2 2tan tan2 1tan ，计算求得结果. 【考点】两直线的夹角与到角问题 . 三、解答题 17.【答案】（）由212 2 nnn aaa得， 211 2 nnnn aaaa，由 1nnn baa得， 1 2 nn bb，即
12、12nnbb，又1211baa，所以 n b是首项为 1，公差为2 的等差数列 . （）由 （）得，12(1)21 n bnn， 由 1nnn baa得， 1 21 nn aan， 则 21 1aa， 32 3aa， 6 / 9 43 5aa， 1 2(1) 1 nn aan -，所以， 2 1 (1)(1+2n3) 135.2(1) 1(1) 2 n n aann-， 又 1 1a，所以 n a的通项公式 22 (1)122 n annn. 【提示】 （）将 21 22 nnn aaa变形为： 211 2 nnnn aaaa，再由条件得 1 2 nn bb，根据条件 求出 1b，由等差数列的
13、定义证明nb是等差数列； （）由（）和等差数列的通项公式求出 n b，代入 1nnn baa并令 n 从 1 开始取值，依次得1n(）个式 子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出 n a的通项公式 n a. 【考点】数列递推式，等差数列的通项公式，等差关系的确定. 18.【答案】 3 4 【解析】解：3 cos2 cosaCcA，由正弦定理可得3sincos2sincosACCA，3tan2tanAC， 1 tan 3 A ， 1 2tan31 3 C ，解得 1 tan 2 C . 11 tantan 32 tantan ()tan()1 11 1tantan 1 32 AB BAC
14、AC AB ，(0 )B,， 3 4 B 【提示】由3 cos2 cosaCcA，利用正弦定理可得3sincos2sincosACCA，再利用同角的三角函数基本 关系式可得tanC，利用tantan ()tanBABAB即可得出 . 【考点】正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用. 19.【答案】（）1 A DABC平面 ， 111 A DAAC C平面 ， 11 AAC CABC平面平面 ，又BCAC 11 BCAAC C平面 ，连结1 AC，由侧面 11 AAC C为菱形可得 11 ACAC ，由三垂线定理可得11 ACA B； （） 11 BCAAC C平面 ， 11 BCBCC B平
15、面 ， 1111 AAC CBCC B平面平面 ， 作 11 A ECC ， E 为垂足，可得 111 A EBCC B平面 ， 又直线 111 AABCC B平面 ， 1 A E为直线 1 AA与平面 11 BCC B的距离，即 1 3A E， 1 AC为 1 ACC的平分线， 11 3A DA E，作DFAB，F 为垂足，连结 1 AF，由三垂线定理可得 1 A FAB， 1 A FD为二面角 1 AABC的平面角，由 22 11 1ADAAA D可知 D 为 AC 中点， 7 / 9 15 25 ACBC DF ， 1 1 tan15 A D AF D DF ， 二面角 1 AABC的大
16、小为 arctan 15. 【提示】（）由已知数据结合三垂线定理可得； （）作辅助线可证 1 A FD为二面角 1 AABC的平面角，解三角形由反三角函数可得. 【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法 20.【答案】（）0.31 （） 3 【解析】解： （）由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为： 0.60.50.50.4(1 0.6)0.50.50.40.61 0.50.50.40.60.5 (1 0.5)0.40.60.5-（ -）- 0.5 (1 0.4)0.31- . （）由（）可得若2k，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31 0.1，不满足条件 . 若3k，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6 0.5 0.5 0.40.060.1，满足条件 . 故 k 的最小值为3. 【提示】
