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1、2.3 幂函数 互动课堂 疏导引导 一般地 , 函数 y=x 叫做幂函数 , 其中 ,x 是自变量 , 是常数 . 疑难疏引 1. 我们只讨论 为有理数时的简单的幂函数. 虽然 y=x、y=x 2 是幂函数 , 但并不是所有的 一次函数、二次函数都是幂函数, 如:y=x+1 、 y=2x 2+1 都不是幂函数 , 它们并不满足幂函数的 定义 , 但它们是与幂函数相关联的函数, 它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的. 幂函数 的定义域和值域是由它的幂指数来确定的, 幂指数不同 , 定义域和值域也不同. 掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=x 的函数”这句话的重要作用 . 2. 幂函数的定义域比
2、较复杂, 应分类进行掌握: (1) 当指数 n 是正整数时 , 定义域是R. (2) 当指数 n 是正分数时 , 设 n= q p (p 、q 是互质的正整数,q1), 则 x n =x q p = q p x. 如果 q 是奇数 , 定义域是R; 如果 q 是偶数 , 定义域是 0,+). (3) 当指数 n是负整数时 , 设 n=-k, x n= k x 1 , 显然 x 不能为零 , 所以定义域是 x|x R且 x0. (4) 当指数 n 是负分数时 , 设 n=- q p (p 、q 是互质的正整数,q1), 则 x n = q p x 1 = q p x 1 . 如果 q 是奇数 ,
3、 定义域是 x|x R,且 x0; 如果 q 是偶数 , 定义域是 (0,+ ). 3. 幂函数与指数函数的区别: 虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式, 但二者的 定义域不同 , 即指数函数y=a x 中, 指数是自变量 , 而幂函数y=x 中 ,底数是自变量 . 当然 , 由此 可见 , 二者的对应关系和值域也不同. 如图所示 ,幂函数有如下性质: 1. 所有幂函数在(0,+ ) 上都有定义 , 并且图象都通过点(1,1); 2. 如果 a0, 则幂函数的图象通过原点并且在区间0,+ ) 上是增函数 ; 3. 如果 a0) 的图象特征和函数性质 , 通过对幂函数y=x -2 、y=
4、x -3 及 y=x - 2 1 的图象研究归纳 y=x n(n0), 我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性, 由此确定图象 的位置 , 即所在象限 , 其次确定曲线的类型, 即 n0,0n1三种情况下曲线的基本形状, 还要注意n=0, 1 三个曲线的形状; 对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来 记忆“正抛物负双曲, 大竖直小横铺” ,即 n0(n 1) 时图象是抛物线型;n1 时图象是竖直抛物线型;0n0) 单调递减 且 3.14 3 4 . (2) 由于 y=x - 5 3 这个幂函数是奇函数, f(-x)=-f(x). 因此 ,(- 2) - 5 3 =-(2) - 5
5、 3 ,(-3) - 5 3 =-(3) - 5 3 . 而 y=x - 5 3 (x0) 单调递减 , 且2(3) - 5 3 -(2) - 5 3 -(3) - 5 3 , 即(-2) - 5 3 0. 【答案】 y=(m 2 -5m+6)x m2-2m-3 是幂函数 , m 2 -5m+6=1,得 m= 2 55 . 又函数图象过(0,0) 和(1,1) 点, m 2 -2m-30, 则有 (m-1) 2 4, 得 m3或 m0. 另外要注意到要表达成集合的形式. 【答案】 x| x 0,x| x0. 4下列 4个幂函数 , 在(- ,0) 上不是增函数的是( ) A.y=x 3 1 B
6、.y=x 3 C.y=x - 3 2 D.y=x - 4 1 【思路解析】根据幂函数的性质知, 函数 y=x 3 1 在 R上是单调递增的, 在 (- ,0) 上也是增函数; 函数 y=x 3 在 R上是单调递增的, 在 (- ,0) 上也是增函数; 函数 y=x - 3 2 在(- ,0) 上是单调递增的, 在 R + 上是单调递减的; 函数 y=x - 4 1 的定义域是R + , 在(- ,0) 上没有定义 , 函数 y=x - 4 1 在(- ,0) 上不是增函数. 综上所述 , 选 D. 【答案】 D 5 函数 y=(3x-2) 2 1 +(2-3x) - 3 1 的定义域为 . 【
7、思路解析】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围, 本题中有两个限制条 件,(3x-2) 2 1 的底数非负 ,(2-3x) - 3 1 的底数非零 . 依题意得 03x2 023x 3 2 x 3 2 x x 3 2 . 【答案】 ( 3 2 ,+ ) 6. 已知函数y=x a,y=xb,y=xc 的图象如图所示, 则 a、b、c 的大小关系为 ( ) A.cba B.abc C.bca D.cab 【思路解析】幂函数在第一象限内为增函数时, 指数为正 , 为减函数时 , 指数为负 , a、b 为正 ,cb. 综上 ,abc. 因此 , 选 A. 【答案】 A 7. 已知幂函数y=x
8、 n1,y=xn2,y=xn3,y=xn4 在第一象限内的图象分别是C1、C2、C3、 C4(如图 ), 则 n 1、n 2、n 3、n 4、0、1 的大小关系是 . 【思路解析】结合幂函数在第一象限的图象来判断. 【答案】 n 1n 20n 31n 4 8. 若(a+1) - 2 1 (3-2a) - 2 1 , 则 a 的取值范围是_. 【思路解析】因为函数y=x 2 1 在 0,+ ) 上单调递增 , 所以 y=x - 2 1 在(0,+ ) 上单调递减 . 所以 0,2a3 0,1a 3,1a 解得 3 2 a 2 3 . 【答案】 ( 3 2 , 2 3 ) 9. 某公司产值最初为m万元 , 以后连续三年持续增长, 这三年的增长率分别为a、b、c, 求这 三年的平均增长率. 【思路解析】第一年的产值为m(1+a), 第二年的产值为m(1+a)(1+b), m(1+a)(1+b)(1+c),如果设平均增长率为x, 则第三年的产值也为m(1+x) 3. 【解】设这三年的平均增长率为x, 依题意得m(1+x) 3=m(1+a)(1+b)(1+c). 解得 x= 3 )1)(1)(1(cba-1. 答: 这三年的平均增长率为x= 3 )1)(1)(1(cba-1.
