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1、专题讲座 6 概率、统计在高考中的常见题型与求解策略 1(2016东北三省四校联考) 已知点 P，Q为圆 C：x 2y225 上的任意两点，且 |PQ|6 ， 若 PQ中点组成的区域为M ，在圆 C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为 ( ) A. 3 5 B. 9 25 C.16 25 D. 2 5 解析：选B.PQ 中点组成的区域为M ，如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M内 的概率为 2516 25 9 25，故选 B. 2如果 X B(20 ，p)，当 p1 2且 P(Xk) 取得最大值时， k 的值为 ( ) A8 B9 C10 D11 解析：选C. 当 p 1 2时，
2、P(Xk) C k 20 1 2 k 1 2 20k C k 20 1 2 20 ，显然当 k10 时， P(Xk) 取得最大值 3(2016邯郸调研) 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有 数字1，一个面上标有数字2. 将这个小正方体抛掷2 次，则向上的数之积的数学期望是 _ 解析： 设向上的数之积为X，则随机变量X的取值为 0，1，2，4，P(X0) 3 4，P(X1) 1 9， P(X2) 1 9，P(X4) 1 36，因此 EX 4 9. 答案： 4 9 4 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若 EX 0， DX 1， 则 a _， b _. X 1 0 1
3、2 P a b c 1 12 解析：由题意得，abc 1 121， 因为 EX 0，所以 1a0b1c2 1 12 0， 即 ac1 60. 因为 DX ( 1 0) 2a(0 0)2b (10)2c(20)21 121，即 ac 2 3. 联立解得a 5 12， b 1 4. 答案： 5 12 1 4 5(2016辽宁省五校联考) 在某次考试中， 从甲、 乙两个班各抽取10 名学生的数学成绩进 行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90 分的为及格 (1) 用样本估计总体，请根据茎叶图对甲、乙两个班级的成绩进行比较； (2) 从甲班 10 名学生和乙班10 名学生中各抽取一人，求
4、有人及格的条件下乙班同学不及格 的概率； (3) 从甲班 10 人中抽取一人， 乙班 10 人中抽取2 人，3 人中及格人数记为X，求 X的分布列 和数学期望 解： (1) 从茎叶图可以得到：甲班平均分为89 分；乙班平均分为89 分 甲班的方差大于乙班的方差 所以甲、乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定 (2) 事件“从甲班10 名学生和乙班10 名学生中各抽取一人，已知有人及格”记为A； 事件“从甲班10 名学生和乙班10 名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记为B， 则 P(B|A) P（AB） P（A） 4 10 5 10 4 10 5 10 6 10 5 10 4 10
5、5 10 2 7. (3)X 的取值为0， 1，2，3， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2 15 19 45 16 45 4 45 期望 EX 7 5. 6(2016成都调研) 为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预 赛选出了6 个班 ( 含甲、乙) 进行经典美文诵读比赛决赛决赛通过随机抽签方式决定出场顺 序求： (1) 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率； (2) 决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求 X的分布列和数学期望 解： (1) 设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A， 则 P(A) A 2 2A 4 4 A 6 6 1 15. 所以甲、乙两班恰好在前
6、两位出场的概率为 1 15. (2) 随机变量X的可能取值为0， 1，2，3，4. P(X0) A 2 2A 5 5 A 6 6 1 3，P(X1) 4A 2 2A 4 4 A 6 6 4 15， P(X2) A 2 4A 2 2A 3 3 A 6 6 1 5，P(X3) A 3 4A 2 2A 2 2 A 6 6 2 15，P(X4) A 4 4A 2 2 A 6 6 1 15. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 3 4 15 1 5 2 15 1 15 因此， EX 0 1 31 4 152 1 53 2 154 1 15 4 3. 1(2016郴州一模 ) 某次数
7、学测验共有10 道选择题， 每道题均有四个选项，且其中只有一 个选项是正确的，评分标准规定：每选对1 道题得 5 分，不选或选错得0 分某考生每道题 都选并能确定其中有6 道题能选对， 其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有2道题 能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该考生做这4 道题时每道题都从 不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响 (1) 求该考生本次测验选择题得50 分的概率； (2) 求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望 解： (1) 设选对一道“能排除2 个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1 个选项的题 目”为事件
8、B， 则 P(A) 1 2， P(B) 1 3. 该考生选择题得 50分的概率为P (A) P(A)P(B)P(B) 1 2 2 1 3 2 1 36. (2) 该考生所得分数X30，35， 40，45，50， P(X30) 1 2 2 1 1 3 2 1 9， P(X35) C 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 C 1 21 3 2 3 1 3， P(X40) 1 2 2 2 3 2 C 1 2 1 2 2 C 1 2 1 3 2 3 1 2 2 1 3 2 13 36， P(X45) C 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 C 1 21 3 2 3 1 6， P(X50)
9、 1 2 2 1 3 2 1 36. 该考生所得分数X的分布列为 X 30 35 40 45 50 P 1 9 1 3 13 36 1 6 1 36 所以 EX 30 1 935 1 340 13 3645 1 650 1 36 115 3 . 2(2016洛阳统考) 在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100 名考生的成绩( 单位： 分) ，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： 组别40 ，50) 50 ，60) 60 ， 70) 70 ，80) 80 ，90) 90 ，100 频数5 18 28 26 17 6 (1) 求抽取的样本平均数x 和样本方差s 2( 同一组中的数据用该组
10、区间的中点值作代表 ) ； (2) 已知这次考试共有2 000 名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布N(， 2 )( 其中 近似为样本平均数x， 2 近似为样本方差s 2) ，且规定 82.7 分是复试线， 那么 在这 2 000 名考生中，能进入复试的有多少人？( 附：16112.7 ，若 zN(， 2) ，则 P( z) 0.682 6 ，P( 2z2) 0.954 4 ，结果取整数部分) (3) 已知样本中成绩在90 ，100 中的 6 名考生中，有4 名男生， 2 名女生，现从中选3人进 行回访，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与期望E. 解： (1) 样本平均数x 和
11、样本方差s 2 分别为 x 450.05550.18650.28750.26850.17950.06 70， s 2( 25)20.05 ( 15)20.18 ( 5)20.28 520.26 1520.17 2520.06 161. (2) 由(1) 知， zN(70，161) ，从而 P(z82.7) 10.682 6 2 0.158 7 ， 所以能进入复试的人数为2 0000.158 7 317. (3) 显然 的取值为1， 2，3， P( 1) C 1 4C 2 2 C 3 6 1 5，P(2) C 2 4C 1 2 C 3 6 3 5，P( 3) C 3 4C 0 2 C 3 6 1 5， 的分布列为 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以 E 1 1 52 3 53 1 52.
