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1、1 / 9 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2） 理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】集合21,N，故1,2MN. 【提示】用描述法表示两集合求两集合并集 【考点】并集的运算 2.【答案】 A 【解析】由题知 2 2zi，所以 12 (2i)( 2i)45z z 【提示】给出一复数并给出另一复数与其的关系求两复数乘积. 【考点】复数代数的基本运算 3.【答案】 A 【解析】由已知得 2 |10|ab， 2 |6ab，两式相减，得44a b，所以1a b 【提示】给出限定条件求两向量乘积 【考点】向量的基本运算 4. 【答案】 B 【解析】 根据三
2、角形面积公式，得 11 sin 22 BA BCB，即 11 12sin 22 B，得 2 sin 2 B，其中CA. 若 B 为锐角，则 4 B，所以 2 12212 2 1ACAB， 易知 A 为直角，此时ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即 3 4 B， 所以 2 122 125 2 AC. 【提示】利用三角函数求三角形其中一边边长 【考点】三角函数 5. 【答案】 A 【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件A， “第二天空气质量为优良”为事件B， 2 / 9 则 P（A） =0.75，P（AB）=0.6，由题知要求的是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率， 根据条件率公式得
3、()0.6 (|0.8 . ) ( )075 p AB p A P B A 【提示】给出随机事件求概率 【考点】随机事件的概率 6. 【答案】 C 【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为 22 32 2434（ 3 cm） ， 原毛坯的体积为 2 3654（ 3 cm） ，切削掉部分的体积为54 34 20（ 3 cm） ， 故所求的比值为 2010 5427 . 【提示】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可. 【考点】三视图 7. 【答案】 D 【解析】逐次计算，可得2M，5S，2k；2M7S，3k，此时输出7S 【提示】根据条件，依次运行程序，即可得
4、到结论. 【考点】程序框图 8. 【答案】 D 【解析】 1 1 ya x ，根据已知得，当0 x时，2y，代入解得3a 【提示】给原函数式并给出在某点的切线方程求原式上的未知量. 【考点】导数的意义 9.【答案】 B 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知， 目标函数在点(5,2)A处取得最大值，故目标函数的最大值为2528 【提示】做出不等式的平面区域，求目标函数的最大值 3 / 9 【考点】线性规划 10. 【答案】 D 【解析】抛物线的焦点为F 3 ,0 4 ， 则过点 F 且倾斜角为30的直线方程为 33 34 yx， 即 3 4 3xy，
5、 代 入 抛 物 线 方 程 得 29 3 30 4 yy设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy， 则 12 3 3yy， 12 9 4 y y， 则 2 12 11399 |(3 3)4 22444 OAB SOFyy 【提示】给出抛物线的标注方程并给出约束条件求锁定区域三角形的面积 【考点】抛物线的基本性质 11. 【答案】 C 【解析】如图，E 为 BC 的中点 .由于 M，N 分别是 11 A B， 11 AC的中点，故 11 MNB C且 11 1 2 MBNC， 故MNBE所以四边形MNEB 为平行四边形，所以ENBM，所以直线AN，NE 所成的角即为直线BM， AN 所
6、成的角 .设1BC，则 111 12 = 22 B MA B，所以 16 1= 22 MBNE， 5 2 ANAE，在 ANE 中，根据余弦定理得 655 444 65 22 30 1 cos 02 ANE. 【提示】给出约束条件求异面直线的余弦值 【考点】异面直线及其所成的角 12. 【答案】 C 【解析】函数( )f x的极值点满足 2m k x ，即 1 2 xkm，( )f x kZ，且极值为3，问题等价于 存在 0k使之满足不等式 2 22 0 1 3 2 mkm.因为 2 1 2 k 的最小值为 1 4 ， 4 / 9 所以只要 221 3 4 mm成立即可，即 2 4m，解得2m
7、或2m，故 m 的取值范围是()(, 2,)2. 【提示】给出解析式并给予约束条件求未知量的取值范围. 【考点】函数基本计算，极值的性质 第卷 二、填空题 13.【答案】 1 2 【解析】展开式中 7 x的系数为 33 10 C15,a即 3 1 8 a，解得 1 2 a. 【提示】给出一解析式求其展开式某项的系数 【考点】二项式定理 14.【答案】 1 【解析】( )sin()2sincossincoscos sin2sincosf xxxxxx sincossincos()sinxxx.( )f x的最大值为1 【提示】 由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为( )sin
8、f xx，从而求得函数的最 大值 . 【考点】三角函数的最值 15. 【答案】( 1,3) 【解析】根据偶函数的性质，易知( )0f x的解集为( 2,2)， 若(1)0f x，则212x，解得13x 【提示】给出函数的奇偶性、单调性并给出约束条件求自变量x 取值范围 【考点】函数单调性，函数奇偶性 16. 【答案】 1,1 【解析】在OMN 中， 2 0 11+OMONx，所以设ONM，则45135.根据正弦定理得 2 0 1 1 sinsin45 x ，所以 2 0 2si11n,2x， 所以 2 001x，即011x，故符合条件的0 x的取值 范围为 1,1. 【提示】给出圆的标准函数，
9、利用正弦定理、圆的性质求解未知量的取值范围. 【考点】正弦定理，圆的性质 三、解答题 5 / 9 17.【答案】（）见解析 （）见解析 【解析】 （）由 1 31 nn aa得 1 11 3 22 nn aa.又 1 13 22 a，所以 1 2 n a 是首项为 3 2 ，公比为 3 的 等比数列 . 13 22 n n a，因此 n a 的通项公式为 31 2 n n a. （）由（）知 12 31 n n a ，因为当1n时， 1 3123 nn ， 所以 1 11 3123 nn .于是 1 12 11111 1 33 n n aaa 313 1 232 n .所以 12 1113 2
10、 n aaa . 【提示】给出相关项求等比数列通项公式，利用等比数列性质证明相关结论 【考点】数列的求和，等比数列的性质 18.【答案】（）见解析 （） 3 8 【解析】（）连接BD 交 AC 于点 O，连结 EO.因为 ABCD 为矩形，所以O 为 BD 的中点 .又 E 为 PD 的中 点，所以EOPB.EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以PBAEC平面. （）因为PAABCD平面，ABCD 为矩形，所以AB，AD，AP 两两垂直 . 如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，|AP为单位长， 建立空间直角坐标系Axyz则(0,3,0)D， 3 1 0, 22 E ， 3 1
11、 0, 22 AE. 设(,0,0)(0)b mm，则(, 3,0)c m，(, 3,0)ACm. 设 1 ( , , )nx y z为平面 ACE 的法向量，则 1 1 0 0 n AC n AE ，即 30 31 0 22 mxy yz ，可取 1 3 , 1, 3n m . 又 2 (1,0,0)n为平面 DAE 的法向量，由题设 12 1 |cos,| 2 n n，即 2 31 342m ，解得 3 2 m. 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥EACD的高为 1 2 . 6 / 9 三菱锥EACD的体积 11313 3 32228 V. 【提示】给出约束条件证明线面平行、给出二面角
12、求空间几何体体积. 【考点】二面角的平面角及求法，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定 19.【答案】（）0.52.3yt （） 6.8 千元 【解析】（）由所给数据计算得12 1 3456 7 74t， 2.93.33.64.44.85.25.94 1 . 7 3y 7 2 1 1 94101()4928 t tt 7 11 1 31.42110.7()()( )()( )( )( )()00.11 0.5 20.93 1.6 14 t ttyy 7 11 1 7 2 1 1 ()() 14 0.5 28 () t t ttyy b tt ， 4.30.542.3aybt. 所求回归
13、方程为0.52.3yt. （）由（）知0.50b，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增 加 0.5 千元 .将 2015 年的年份代号9t带入（）中的回归方程，得0.592.36.8y，故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为6.8 千元 . 【提示】给出相关数据求回归方程、利用回归方程求居民家庭人均收入. 【考点】线性回归方程 20.【答案】（） 1 2 （）72 7ab， 7 / 9 【解析】（）根据 22 cab及题设知 2 , b Mc a ， 2 23bac将 222 bac代入 2 23bac， 解得 1 2 c a ，2 c
14、a （舍去）故C 的离心率为 1 2 . （） 由题意， 原点O为 12 F F的中点， 2 MFy轴，所以直线 1 MF与y轴的交点(0,2)D是线段 1 MF的中点， 故 2 4 b a ，即 2 4ba 由 1|5|MNF N得11|2|DFF N.设11(,)N xy，由题意知10y，则 1 1 2() 22 cxc y ， 即 1 1 3 , 2 1 xc y 代入 C 的方程，得 2 22 91 1 4 c ab . 将及 22 cab代入得 2 2 9(4 )1 1 44 aa aa 解得 2 7428aba，故727ab，. 【提示】给出约束条件利用直线与椭圆的关系求椭圆离心率
15、.给出约束条件求出椭圆标准方程. 【考点】椭圆的应用 21.【答案】（）(,) （） 2 （） 0.693 【解析】（）( )ee20 xx fx，等号仅当0 x时成立 .所以( )f x在(,). （） 22 ( )(2 )4( )ee4 (ee)(84) xxxx g xfxbf xbbx， 22 ( )2ee2 (ee)(42)2(ee2)(ee22) xxxxxxxx g xbbb. （）当2b时，( )0gx，等号仅当0 x时成立，所以( )g x在(,)单调递增 . 而0(0)g，所以对任意0( )0 xg x，； （ ii）当2b时，若x满足2ee22 xx b，即 2 0ln(
16、12 )xbbb时，0( )g x. 而(0)0g，因此当 2 0ln(12 )xbbb时，( )0g x.综上， b 的最大值为2 （）由（）知 3 (ln2)2 22(21)ln 2 2 gbb. 当2b时， 3 (ln2)4 26ln 20 2 g； 8 23 ln 2 12 0.6928； 8 / 9 当 3 2 1 4 b时， 2 ln(12 )ln2bbb， 3 (ln2)2 2(3 22)ln 20 2 g， 182 ln 20.6934 28 ，所以ln 2的近似值为0.693 【提示】给出函数表达式利用函数的导数求函数的单调性、原函数组成的新函数给出约束条件求表达式中 未知量的最大值.求近似值 【考点】函数单调性，导数的应用，求极值 22.【答案】（）见解析 （）见解析 【解析】（）连结AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA. 因为PDADACDCA，PADBADPAB ，CA=PAB， 所以 DAC=BA
