《2021.9.20 初三数学二次函数知识点总结及经典习题含(最新-编写)200修订》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021.9.20 初三数学二次函数知识点总结及经典习题含(最新-编写)200修订(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 二次函数二次函数 一、二次函数概念:一、二次函数概念: 1二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 2 yaxbxcabc,0a 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的0a bc, 定义域是全体实数 2. 二次函数的结构特征: 2 yaxbxc 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是 2xx 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项abc,abc 二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:的性质: 2 yax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc 的性质: 上加下
2、减。 3. 2 ya xh 的性质: 左加右减。 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00,轴y 时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x y 随的增大而减小;时,有最小值x0 x y0 0a 向下 00,轴y 时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x y 随的增大而增大;时,有最大值x0 x y0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c,轴y 时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x y 随的增大而减小;时,有最小值x0 x yc 0a 向下 0c,轴y 时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x y 随的增大而增大;时,有最大值x0 x yc 的符号a开口方
3、向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h, X=h 时,随的增大而增大;时,xhyxxhy 4. 的性质: 2 ya xhk 三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; 2 ya xhkhk, 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: 2 yaxhk, 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”hk 概括成八个字“左加右减,上加下减” 四、二次函数与的比较四、二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得 2 ya xh
4、k 2 yaxbxc 到前者,即,其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa , 六、二次函数的性质六、二次函数的性质 2 yaxbxc 随的增大而减小;时,有最小值xxhy0 0a 向下 0h, X=h 时,随的增大而减小;时,xhyxxhy 随的增大而增大;时,有最大值xxhy0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk, X=h 时,随的增大而增大;时,xhyxxhy 随的增大而减小;时,有最小值xxhyk 0a 向下 hk, X=h 时,随的增大而减小;时,xhyxxhy 随的增大而增大;时,有最大值xxhyk 1. 当时,抛物线开
5、口向上,对称轴为,顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa , 当时,随的增大而减小; 2 b x a yx 当时,随的增大而增大; 2 b x a yx 当时,有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为当时,0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa , 2 b x a 随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值yx 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:(,为常数,) ; 2 yaxbxcabc
6、0a 2. 顶点式:(,为常数,) ; 2 ()ya xhkahk0a 3. 两根式(交点式):(,是抛物线与轴两交点的横坐标). 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx 注意 : 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x 2 40bac 解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;0a aa 当时,抛物线开口向下,的值
7、越小,开口越小,反之的值越大,开口越大0a aa 2. 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴 (同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴)ab 3. 常数项c 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;0c yxy 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;0c yy0 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置cy 十、二次函数与一元二次方程:十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):x 一元二次方程是二次函数当函数
8、值时的特殊情况. 2 0axbxc 2 yaxbxc0y 图象与轴的交点个数:x 当时, 图象与轴交于两点, 其中的是一元二 2 40bac x 12 00A xB x, , 12 ()xx 12 xx, 次方程的两根. 2 00axbxca 当时,图象与轴只有一个交点; 0 x 当时,图象与轴没有交点.0 x 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;10a xx0y 当 时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有 20a xx0y 2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,; 2 yaxbxcy(0)c 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一、选择题一、选择题 1. 二次函数的
9、顶点坐标是( ) 2 47yxx A.(2,11) B.(2,7) C.(2,11) D. (2,3) 2. 把抛物线向上平移 1 个单位,得到的抛物线是( ) 2 2yx A. B. C. D. 2 2(1)yx 2 2(1)yx 2 21yx 2 21yx 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 2 ykxk(0) k yk x 4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当 2 (0)yaxbxc a 和时,函数值相等;当时, 的值只能取 0.其中正确1x 3x 40ab2y x 的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.已知二次函
10、数的顶点坐标 (-1, -3.2) 及部分图象(如图),由 2 (0)yaxbxc a 图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是(x 2 0axbxc 12 1.3xx和 ) . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在( ) 2 yaxbxc(,)ac bc A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程的正根的个数为( ) 2 2 2xx x A.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为y A. B. 2 2yxx 2 2yxx C. 或
11、 D. 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二、填空题二、填空题 9二次函数的对称轴是,则_。 2 3yxbx2x b 10已知抛物线 y=-2(x+3)+5,如果 y 随 x 的增大而减小,那么 x 的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质:图象过点(1,2) ,当0 时,函数值随自变量的增大而增xyx 大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可) 。 12抛物线的顶点为 C,已知直线过点 C,则这条直线与两坐标轴所围 2 2(2)6yx3ykx 成的三角形面积为 。 13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个 2 241yxx 2
12、2yxbxc 单位得到的,则 b= ,c= 。 14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的 地方,桥的高度是 (取 3.14). 三、解答题:三、解答题: 15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).30 xy 5 2 (1)求这个二次函数的解析式; (2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0? (3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值随 x 的增大而增大?y 第 15 题图 16.某种爆竹点燃后,其上升高度 h(米)和时间 t(秒)符合关系式 (0t2) ,其中 2 0 1
13、 2 hv tgt 重力加速度 g 以 10 米/秒 2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地 15 米? (2)在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交 2 yxbxc3yx 点 A、B,此抛物线与轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.x (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P 为抛物线上的一个动点,求使:5 :4 的点 P APC S ACD S 的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货
14、源,待货物售出后再 进行结算,未售出的由厂家负责处理) 当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨该建材店为提高经 营利润,准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现 : 当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会 增加 7. 5 吨综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料 售价为 x(元) ,该经销店的月利润为 y(元) (1)当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量; (2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围) ; (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大
15、 ”你认为对吗?请说明理由 二次函数应用题训练二次函数应用题训练 1、心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(分)之 间满足函数关系:y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0 x30). (1) 当 x 在什么范围内时, 学生的接受能力逐步增强?当 x 在什么范围内时, 学生的接受能力逐步减弱? (2)第 10 分钟时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 2、如图,已知ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC 上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少? FEB GD C A 3、 如图,ABC中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同 时出发,问经过几秒钟PBQ 的面积最大?最大面积是多少? B Q C P A 4、如图,一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行 的水平距离为 2.5 米时,达到最大高度 3.5 米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的 距离为