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1、矩阵与线性方程组 1D= )()()(011 1213212 132 aaakkk k 按第一列展开，再将各列的公因子提出来D= )()()( 121321211312 aaakkk k =(a2a 1)(a3a 1)(aka 1) 2232kka 得到的 k1 阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为 kijja2)(于是 D=(a2a 1)(a3a 1)(aka 1) = ijjkijja1)(因此，对于任意正整数 n2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕例 1.14 计算 n 阶三对角行列式：Dn= 2100210 解 由行列式的性质 1.4，将 Dn 的第一列的每个元看成两个元之和，得线
2、性代数 2Dn= +2100210 2100210 第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得Dn=Dn 1+ =Dn1 +1000 反复利用上面的递推公式，得到Dn=Dn1 +1=Dn2 +2=D1+n1=2+n1= n+1例 1.15 计算 n 阶行列式Dn= (ai b, i=1,2,n)nba 2解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。Dn= naba 012第一行乘以（1）加到其他各行上去，得矩阵与线性方程组 3Dn= bababn 0112第二列乘以 加到第一列上去，第三列乘以 加到第一列上去，依ba1 21次类推，最后一列乘以 加到第一列上去，得到n
3、Dn= bababbni 0012= niba11()iin1.4 行列式的应用1.4.1 克拉默法则本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设 n 个未知量 n 个方程的线性方程组为线性代数 4（1.18）nnnnbxaxa 21 222 121简记为=bk (k=1,2,n) （1.19）njj1它的系数构成的行列式D= (1.20)nnnaa 212112称为方程组（1.18）的系数行列式。定理 1.7 如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：x1= , x2= , , xn= (1.21)D1D这里 Dj(j=1,2,n)是把方程组的常数项 b1,b2,bn
4、 依次替换系数行列式中的第j 列元所得到的 n 阶行列式。通常称这个定理为克拉默（G.Cramer）法则。证明 取正整数 1,2,n 中任意一个为 j，以 A1j,A2j,Anj 分别乘以方程组中第一，第二，第 n 个方程，然后相加，得( )x1+( )x2+( )xj+( )xn =nkkjAa1kjankkja1nkkja1(1.22)nkkjb1由性质 1.13 可知，方程左边 xj 的系数为 D，而其它的 xi 的系数为零；方程右矩阵与线性方程组 5边恰好是用 b1,b2,bn 依次替换 D 中第 j 列每个元所得到的行列式 Dj，因此有Dxj=Dj令 j=1,2,n，就得到方程组Dx
5、1=D1, Dx2=D2,Dxn=Dn (1.23)显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当 D0 时，方程组（1.23）有惟一解：x1= , x2= , , xn= （1.24）1因此，方程组（1.18）最多有一组解。将（1.24）代入（1.18）的第 i 个方程，得= ( )= =bi (i=1,2,n)njjiDa1njia1kjAbnkbD1jkjiAa则（1.24）的解是（1.18）的解。而且是唯一解。 证毕例 1.16 解线性方程组 3273141xx解 系数行列式D = = 1962734由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时D1= = 54
6、 D2= = 3827342317D3= = 801线性代数 6则有982716541Dx 981632Dx 4920183Dx用克拉默法则解一个有 n 个未知量、n 个方程的线性方程组，需要计算n+1 个 n 阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。1.4.2 拉普拉斯定理行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。在 n 阶行列式 D 中任选 k 行和 k 列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个 k 阶行列式 M，称为行列式 D 的 k 阶子式；而划去这 k 行 k 列后，剩余的元按原
7、来的顺序排列成的 nk 阶行列式 N，称为 M 的余子式；如果 k 阶子式在 D 中所在的行、列的序号依次为，i 1,i2,ik,j1,j2,jk,则把kkjjii 2121)(称为 M 的代数余子式。例如D= 434213214312aa从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为 M；M的余子式记为 N，具体写出来就是：M= N=312a421aM 的代数余子式为（1） 2+3+1+3N=N定理 1.8 在 n 阶行列式中任取 k 行（列） ，则由这 k 行（列）的元所组成的所有的 k 阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。矩阵与线性方程组 7通常把这个定理称为
8、拉普拉斯（Laplace）定理，证明从略。例 1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开D= 41032解 D 中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个M1= =3, M2= =1, M3= =00M4= =1, M5= =0, M6= =00011其中 M1,M2,M4 的代数余子式为A1=(1) 1+2+1+2 =13, A2=(1) 1+2+1+3 =44134A4=(1) 1+2+2+3 =00由拉普拉斯定理知D=M1A1+ M2A2+ M3A3+ M4A4+ M5A5+ M6A6=313+14=43由此可见，当选出的行（列）中所组成的 k 阶子式大部分都为零时，应用
9、拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。例 1.18 计算 n 阶行列式D= abba00 解 先做 n2 次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做线性代数 8n2 次相邻列的互换，使最后一列换到第二列的位置上D=(1) n2 =000abba aa 0用拉普拉斯定理，可得D= =an2 (a2b 2)ab 01.4.3 方阵与行列式行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中 A，B 为 n 阶方阵，为数）性质 1.14 detAT=detA性质 1.15 det(A)=ndet(A)证明 设A= nnnaa 2122211则A= 及 det(A)=nnn naa 21222111
10、 nnnaa 212112矩阵与线性方程组 9依据行列式的性质，将 det(A)中每一行中的公因子提出，得到det(A)=n =ndet(A) 证毕naa 212112性质 1.16 设 A、 B 为 n 阶方阵，则有det(AB)=(detA)(detB) (此性质称为行列式的乘法定理) (1.25)证明 设 C=AB，并设 A=(aij)nn,B=(bij)nn,C=(cij)nn构造 2n 阶行列式如下：D= nnnnnnbbaa 212112212112000根据拉普拉斯定理，把 D 按照前 n 行展开，有 D=(detA) (detB)另一方面，对 D 中的后 n 列实施行列式的性质
11、 1.11，将第 k 列(1 k n)乘以 bkj 加入到第 n+j 列中去，使得原来矩阵 B 位置上的每个元都变为零，得到D= 00101212221 11212 nnnn nnccaa线性代数 10其中 cij= ，即 C=(cij)=ABnikjba1再用拉普拉斯定理，把 D 按照最后 n 行展开，有D=(1) s (detC)=(1) s( 1)n(detC)10 其中 s=(n+1)+(n+2)+2n+（1+2+n）=n(2 n+1), s+n=n(2n+2)为偶数。所以 D=detC=det(AB) 故 det(AB)=(detA)(detB) 证毕显然，行列式的乘法定理可以推广到
12、有限个方阵相乘的情形，即det(A1A2Ak)=(detA1)(detA2)(detAk)1.4.4 行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法，利用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件，并给出逆阵的一个公式。为此，需要引入 n 阶矩阵 A 的转置伴随阵的定义。定义 1.9 对任意 n 阶方阵 A=(aij)，则称由 detA 中每个元的代数余子式所构成的如下方阵：adjA = (1.25)nnnA 212121为 A 的转置伴随阵(adjugate matrix)或伴随矩阵，用记号 A*表示。定理 1.8 设 A 是 n 阶矩阵， adjA 为其转置伴随矩阵，则有A(adjA)=(adjA)A=(detA)E （1.26）证明 因为
