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1、第十四章 幂 级 数,引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广的应用）.,14.1 幂级数,一 幂级数及其收敛性,二 幂级数的性质,三 幂级数的运算,四 小结,1.定义,注: 当 时, 上面的幂级数化为,我们主要讨论形如(2)的幂级数, 因为只要把,(1),(2),通项,(2)中的 换成 , 就得到(1).,2.幂级数的收敛点与收敛域,因此级数敛散性的问题对
2、于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.,3.和函数,定义域是什么?,定义域就是级数的收敛域,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,由定理14.1知道,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径R?,收敛域是,证明,由比值判别法,例1 求下列幂级数的收敛域:,解,该级数收敛;,该级数发散;,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,解,发散,收敛,故收敛域
3、为(0,1.,解,二 幂级数的性质,1 （阿贝尔第二定理）,定理14.4,证明：,即幂级数在包含收敛域中的任意闭区间,上都一致收敛.,（求和与求极限可交换次序),（求和与求积可交换次序),（求和与求导可交换次序),幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；,说明：,在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；,若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。,推论1. 设 为幂级数(2)在收敛区间,内的和函数, 则它在 内具有任意阶导数,且可逐项求导任意次, 即,注: 由此可见 是幂级数(2)的和函数的必要,条件是 要任意次可导.,推论2. 设 是幂级
4、数(2)在 某邻域内的,和函数, 则幂级数(2)的系数与 在 处的,各阶导数有以下关系:,注: 若幂级数(2)在 内有和函数 ,则幂级数(2)就由 在 处的各阶导数,所唯一确定.,三、幂级数的运算,代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,注: 收敛半径均为,(其中,柯西乘积,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,例：由几何级数的收敛得到的几个结论,两边求导得,两边积分得,解,解,两边积分得,显然，级数的收敛域为（1，1,解,收敛区间(-1,1),几个常用已知和函数的幂级数,注意收敛域！,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念；,思考题解答,（注意下角标的灵活处理）,思考题,例如,思考题解答,不一定.,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,作 业,教材 P5051 习题,1. (2) (4) (6) (8),2. 3. 4. 5.,
