《数学物理方法知识点归纳[精推]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法知识点归纳[精推]（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 复述和复变函数复述和复变函数 1.5 连续连续 若函数在的领域内（包括本身）)(xf 0 z 0 z 已经单值确定，并且，)()( 0lim 0 zfzf zz 则称 f(z)在点连续。 0 z 1.6 导数导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该 点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) 、在点不仅存在而 x u y u x v y v 且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 y yxu x yxv y yxv x yxu ),(),( ),(),( 1.7 解析解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点 的领域内点点是可导的
2、，则称该点是解析 的。 解析的必要条件：函数 f(z)=u+iv 在点 z 的 领域内(i) 、存在。 x u y u x v y v (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数 f(z)=u+iv 在领域内 (i) 、不仅存在而且连 x u y u x v y v 续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： +=0 2 2 x u 2 2 y u 由此可见解析函数的实部和虚部都是调 和函数。但是任意的两个调和函数作为虚 实两部形成的函数不一定是解析函数，因 为它们不一定满足 CR 条件。 当知道
3、 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时， 如何求 v(x,y)? 通过 CR 条件列微分方程 第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 2.2 解析函数的积分解析函数的积分 柯西定理：柯西定理：若函数 f(z)在单连区域 D 内是 解析的，则对于所有在这个区域内而且在 两个公共端点 A 与 B 的那些曲线来讲，积 分的值均相等。 B A dzzf)( 柯西定理推论：柯西定理推论：若函数 f(z)在单连区域 D 内解析，则它沿 D 内任一围线的积分都等 于零。 C dzzf0)( 二连区域的柯西定理二连区域的柯西定理：若 f(z)在二连区域 D 解析，边界连续，则 f(z
4、)沿外境界线(逆 时针方向)的积分等于 f(z)沿内境界线(逆时 针方向)的积分。 n+1 连区域柯西定理连区域柯西定理： n iiie dzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()( 21 推论：推论：在 f(z)的解析区域中，围线连续变形 时，积分值不变。 2.3 柯西公式柯西公式 若 f(z)在单连有界区域 D 内解析，在闭区 域 D 的边界连续，则对于区域 D 的任何一 个内点 a，有其中 dz az zf i af )( 2 1 )( 是境界线。 2.5 柯西导数公式柯西导数公式 d z f i n zf C n n 1 )( )( )( 2 ! )( 第三章第三章 级数级数 3
5、.2 复变函数项级数复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理外尔斯特拉斯定理：如果级数在 0 )( k k zu 境界上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为 F(z) (ii)由它们的 m 阶导数组成的级数 在区域内也收敛，而且它们的 0 )( )( k m k zu 和等于 F(m)(z)。 3.3 幂级数幂级数 阿贝尔阿贝尔(Abel)定理：定理：如果幂级数 在点 z0处收敛，则在任一圆 0 )( k k k azc |z-a|=p|z0-a|，0p1 内，幂级数一致收敛， 并且绝对收敛。 达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)判别法判别法:对于幂级数， 计算下列极限 |)(|
6、|)(| lim 1 1 k k k k k azc azc (i)当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝 对收敛(ii)当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散(iii)当极限值等于 1 时，敛散性不 能判断。 柯西判别法：柯西判别法：计算极限 k k k k azc|)(|lim 当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对 收敛;而当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散；极限值等于 1 时，不能判断 3.4 解析函数与幂级数解析函数与幂级数 定理定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。 Taylor 级数级数： 0 )( )( ! )( )( n n n az n af zf
7、 . ! . ! 2 1 2 n zz ze n z . )!12( (-1). ! 5! 3 sin 12 n 53 n zzz zz n . )!2( . ! 4! 2 1cos 242 n zzz z n . 1 (-1). 32 )1ln( 1 n 32 n zzz zz n 3.5 解析函数与双边幂级数 定理：双边幂级数的和是环形区域内的解 析函数。 环形区域内的解析函数可展成双边幂级数 k k k azczf)()( 称为 Laurant 系数 d a f i ck )( )( 2 1 3.8 孤立奇点孤立奇点 非孤立奇点非孤立奇点：若函数 f(z)在 z=a 点的无论多 么小的领
8、域内，总有除 z=a 以外的奇点， 则 z=a 是 f(z)的非孤立奇点。 孤立奇点孤立奇点：若函数在 z=a 不可导(或无定义)， 而在去心领域 0|z-a| 解析，则 z=a 是 f(z)的一个孤立奇点。 3.9 奇点分类奇点分类 有限远奇点极限性质洛朗级数 可去奇点limf(z)=有限 值 不含负幂项 极点 limf(z)= 含有限个负 幂项 本性奇点limf(z)=无定 值 含无限个负 幂项 无穷远点极限性质洛朗级数 可去奇点limf(z)=有限值不含正幂项 极点 limf(z)= 含有限个正幂 项 本性奇点limf(z)=无定值含无限个正幂 项 第四章第四章 留数留数 4.1 柯西公
9、式的另一种形式柯西公式的另一种形式 一阶极点留数一阶极点留数：若 g(z)在单连区域 D 内解 析，a 在 D 内，在 D 内作一环绕点 a 的围 线 C。 令 f(z)=g(z)/(z-a)则有： C asfidzzf)(Re2)( )()(lim)(Rezfazasf az 一阶极点留数的一种算法一阶极点留数的一种算法: 如果那么 )( )( )( z z zf )( )( )(Res a a af m 阶极点的留数公式 | )()( )!1( 1 )(Re 1 1 az m m m zfaz dz d m asf 4.2 用级数分析来分析留数定理用级数分析来分析留数定理 k k k az
10、czf)()( 则有 Res 1 )( caf 多连区域的柯西定理多连区域的柯西定理:如果在围线 C 的内部 包含 n 个孤立奇点，利用多连区域的柯西 定理就有 n k k C asfidzzf 1 )(Re2)( 4.3 无限远点的留数无限远点的留数 1 )( 2 1 )(Recdzzf i sf 定理定理 1：如果当 z时，若 zf(z)0,则 Resf()=0 定理定理 2：0)(Re)Resf(a 1 k sf n k 4.4 留数定理计算型积分留数定理计算型积分 第一种类型：第一种类型：型积型积 2 0 )sin,(cosdR 分分 令 i ez izdzd/ )( 2 1 cos
11、1 zz)( 2 1 sin 1 zz 1| 2 0 )()sin,(cos z dzzfdR 在单位圆内各个奇点的留数之和 第二种类型：第二种类型：型积分型积分 dxxf)( 注意，需要满足条件0)(lim z zzf 在上半平面的奇点留数idxxf2)( 之和 （界限上的乘以 0.5） 第三种类型：第三种类型：型积分型积分 dxexf imx )( 注意需要符合条件0)(lim z zf f(z)eimz在上半平面i2)( dxexf imx 的奇点留数之和 4.7 围线积分方法围线积分方法 泊松积分：泊松积分： abax e a bxdxe 4/ 0 22 2 1 cos 菲涅尔积分：菲
12、涅尔积分： 22 1 sincos 0 2 0 2 dxxdxx 第六章第六章 积分变换积分变换 6.1 傅里叶级数傅里叶级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 2 周期周期- -展开定理：展开定理： 1 0 )sincos()( m mm mxDmxCCxf dfC)( 2 1 0 dmfCmcos)( 1 dmfDmsin)( 1 任意周期任意周期 2l-2l-展开定理：展开定理： 1 0 )sincos()( m mm x l mDx l mCCxf l l df l C)( 2 1 0 l l m d l m f l C cos)( 1 l l m d l m f l D sin)
13、( 1 6.2 傅立叶积分傅立叶积分 0 sin)(cos)()(dkkxkDkxkCxf dkfkD dkfkC sin)( 1 )( cos)( 1 )( C(k)是偶函数，D(k)是奇函数 傅里叶公式傅里叶公式 令)()( 2 1 )( kiDkCkf 则dkekfxf ikx )( )( d efkf ik )( 2 1 )( )( )( )()( 1 kfFxf xfFkf 6.3 傅立叶变换傅立叶变换 线性定理线性定理 22112211 fFCfFCfCfCF 导数定理导数定理 )()(xfikFxfF )()( )( xfFik dx xfd F n n n 积分定理积分定理 )
14、( 1 )( 0 xfF ik dfF x x 延迟定理延迟定理 )()( 0 0 xfFexxfF ikx 相似定理相似定理 )( 1 )( a k f a axfF 卷积定理卷积定理 )( )( 2)()( 2121 kfkfdxffF 6.4 拉普拉斯变幻拉普拉斯变幻 dtetp pt 0 )()( 注意当 t1 时 )() 42 cos( 2 )( 2/3 xO m x n xJm M 阶贝塞尔方程的本征问题阶贝塞尔方程的本征问题 0)()( )( 2 2 R m d dR d d 自然边界条件自然边界条件 0| )( 00 k 边界条件：边界条件： 0)( )( b R d dR 本
15、征函数：本征函数：)()( nmn JR 本征值：本征值：的解的解0)()(bJbJ mm 正交性：正交性： b jmnm dJJ 0 0)()( 模：模： b nmn dJN 0 22 )( )() )( 1 ()( 2 2 2 2 2 bJ b m bJ a b nm n nm 展开定理展开定理 1 )()( n nmnJ ff b nm n n dJf N f 0 2 )()( 1 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质 母函数：母函数： m m m z z x zxJe)( ) 1 ( 2 加法公式：加法公式： k kmkm bJaJbaJ)()()( 平面波用柱面波展开公式平面波用柱面波展开公式 m imm m ikr eikrJe )( cos m imm m ikr ekrJe ) 1)( sin m im m ikr ekrJe )( sin 积分表达式积分表达式 dxm dexJ imix m )sincos( 2 1 2 1 )(
