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1、选修 1-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 第二章第二章 2.42.4 抛物线抛物线 抛 物 线 )0( 2 2 p pxy )0( 2 2 p pxy )0( 2 2 p pyx )0( 2 2 p pyx 定义 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl =点 M 到直线 的距离 MFM l 范围 0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y 对称性关于轴对称x关于轴对称y (,0) 2 p (,0) 2 p (0,) 2 p (
2、0,) 2 p 焦点 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率=1e 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准 线的距离2 p 焦点到准 线的距离 p 焦半径焦半径 11 ( ,)A x y 1 2 p AFx 1 2 p AFx 1 2 p AFy 1 2 p AFy x y O l Fx y O l F l F x y O x y O l F 选修 1-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 焦焦 点弦点弦 长长 AB 12 ()xxp 1
3、2 ()xxp 12 ()yyp 12 ()yyp 以以为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线 相切相切ABl 若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB 2 2 sin p AB 若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB 2 2 cos p AB 2 12 4 p x x 2 12 y yp 焦点弦 的几AB 条性质 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 112AFBFAB AFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00 ()y yp xx 00 ()y yp xx 00 ()x xp yy 00 ()x xp yy 1. 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线， ，消 y
4、得： （1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l （2）当 k0 时， 0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；l =0， 直线 与抛物线相切，一个切点；l 0，直线 与抛物线相离，无公共点。l （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） o o x 22 ,B xy F F y y 11 ,A x y 选修 1-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 2.2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 ： 抛物线，lb
5、kxy)0(p 11联立方程法：联立方程法： pxy bkxy 2 2 0)(2 222 bxpkbxk 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求),( 11 yxA),( 22 yxB0 2121 ,xxxx 出，bxxkbkxbkxyy2)( 212121 2 2121 2 2121 )()(bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.a. 相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长 21 2 21 2 21 2 4)(11xxxxkxxkAB a k 2 1 或 21 2 21 2 21 2 4)( 1 1 1 1yyyy k yy k AB a
6、 k 2 1 b. 中点中点, ， ),( 00 yxM 2 21 0 xx x 2 21 0 yy y 22点差法：点差法： 设交点坐标为，代入抛物线方程，得),( 11 yxA),( 22 yxB 1 2 1 2pxy 2 2 2 2pxy 将两式相减，可得 )(2)( 212121 xxpyyyy 2121 21 2 yy p xx yy a. 在涉及斜率问题时，在涉及斜率问题时， 21 2 yy p kAB b. 在涉及中点轨迹问题时在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，AB),( 00 yxM ， 002121 21 2 22 y p y p yy p xx yy 即， 0 y p kAB 选修 1-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 同理，对于抛物线，若直线 与抛物线相交于两点，点)0(2 2 ppyxlBA、 是弦的中点，则有),( 00 yxMAB p x p x p xx kAB 0021 2 2 2 （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的 斜率存在，且不等于零）
