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1、高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题2.4 函数性质的综合问题目录一、题型全归纳1题型一 函数的奇偶性与单调性1题型二 函数的奇偶性与周期性2题型三 函数的综合性应用3题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用4结论一、奇函数的最值性质4结论二、抽象函数的周期性4结论三、抽象函数的对称性5二、高效训练突破6一、题型全归纳题型一 函数的奇偶性与单调性 【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有
2、相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响【例1】已知函数yf(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2(0，)，都有(x1x2)f(x1)f(x2)f(b)f(c) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)【答案】C【解析】由题意易知f(x)在(0，)上是减函数，又因为|a|ln 31，b(ln 3)2|a|，0cf(|a|)f(b)又由题意知f(a)f(|a|)，所以f(c)f(a)f(b)故选C
3、.题型二 函数的奇偶性与周期性【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解【例1】(2020武昌区调研考试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数yf(x1)为偶函数，当0x1时，f(x)x3，则 【答案】【解析】解法一：因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期T4，因为0x1时，f(x)x3，所以.解法二：因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以
4、f(x2)f(x)，由题意知，当1x0时，f(x)x3，故当1x1时，f(x)x3，当1x3时，1x21，f(x)(x2)3，所以.题型三 函数的综合性应用【题型要点】求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0；偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解【例1】(2020陕西榆林一中模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，现给出下列命题：函数f(x)是以2为周期的周期函数；函数f(x)是以4为周
5、期的周期函数；函数f(x1)为奇函数；函数f(x3)为偶函数，其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4【答案】B【解析】偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，所以f(x)f(x)f(2x)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故错误，正确；由f(x2)f(x)，可得f(x1)f(x1)又f(x1)f(x1)，所以f(x1)f(x1)，故f(x1)为奇函数，正确；若f(x3)为偶函数，则f(x3)f(x3)，又f(x3)f(x3)，所以f(x3)f(x3)，即f(x6)f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故错误，故选B.题型四
6、 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用结论一、奇函数的最值性质【题型要点】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm 【答案】2【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.结论二、抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(
7、a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.【例2】已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)2，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(1)2，则f(17) 【答案】2【解析】由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数由f(x4)f(x)2，得f(x44)f(x4)2f(x)，所以f(x)是最小正周期为8的偶函数，所以f(17)f(128)f(1
8、)2.结论三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称【例2】(2020黑龙江牡丹江一中期末)设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，下面关于f(x)的判定，其中正确命题的个数为()f(4)0；f(x)是以4为周期的函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)的图象关于x2对称A1B2C3 D4【答案】C【解析】因为f(x)是
9、(，)上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(0)0，因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，f(4)f(0)0，因为f(x2)f(x)，所以f(x1)1f(x)，令tx1，则f(t1)f(1t)，所以f(x1)f(1x)，所以f(x)的图象关于x1对称，而f(2x)f(2x)显然不成立故正确的命题是，故选C.二、高效训练突破一、选择题1.(2020洛阳一中月考）已知定义域为(1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a3)f(9a2)0，则实数a的取值范围是()A(2，3) B(3，)C(2，4) D(2，3)【答案】A.【解析】：由f(a3)
10、f(9a2)0得f(a3)f(9a2)又由奇函数性质得f(a3)f(a29)因为f(x)是定义域为(1，1)的减函数，所以解得2a3.2已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0，2)时，f(x)2x2，则f(2 019)()A2B2C98 D98【答案】A.【解析】：由f(x4)f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)f(1)由f(1)2122得f(1)f(1)2，所以f(2 019)2.故选A.3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)()A6 B6 C4 D4【答案】D【解析
11、】 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3xm，所以f(0)1m0m1，则f(log35)f(log35)(3log351)4.4.(2020广东六校第一次联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)及f(x)f(x)，且在0，1上有f(x)x2，则()A. B.C D【答案】D.【解析】：函数f(x)的定义域是R，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数又f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以.因为在0，1上有f(x)x2，所以，故，故选D.5.已知偶函数f(x)在区间0，)上
12、单调递增，则满足f(2x1)的x的取值范围是()A. B.C.D.【答案】A.【解析】：因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)，所以|2x1|，所以x.6.(2020石家庄市模拟(一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，当x0，1时，f(x)4x1，则在(1，3)上，f(x)1的解集是()A. B.C. D2，3)【答案】C【解析】因为0x1时，f(x)4x1，所以f(x)在区间0，1上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间1，1上是增函数，因为f(x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称
13、，所以函数f(x)在区间(1，3)上是减函数，又1，所以1，所以在区间(1，3)上不等式f(x)1的解集为，故选C.6.(2020黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)是偶函数，定义域为R，单调增区间为0，)，且f(1)0，则(x1)f(x1)0的解集为()A2，0 B1，1C(，01，2 D(，10，1【答案】C.【解析】：由题意可知，函数f(x)在(，0上单调递减，且f(1)0，令x1t，则tf(t)0，当t0时，f(t)0，解得0t1；当t0时，f(t)0，解得t1，所以0x11或x11，所以x0或1x2.故选C.7.对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2【答案】D.【解析】：设g(x)asin xbx，则f(x)g(x)c，且函数
