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1、2020 年中考数学专题训练：一元二次方程 时间:100 分钟满分:120 分 一、选择题(本大题有 16 个小题, 共 42 分.110 小题各 3 分,1116 小 题各 2 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 下列方程是一元二次方程的是( ) A.9x+5=0 B.z 2+x=1 C.2x 2-7=0 D.1 x +x=0 2. 一元二次方程 3x-2=x(2x-1)的一般形式是( ) A.2x 2-3x-2=0 B.2x 2+3x-2=0 C.2x 2-4x-2=0 D.2x 2-4x+2=0 3. 用配方法解一元二次方程x 2-8x+13=0, 变形正确
2、的是 ( ) A.(x-5) 2=-13 B.(x-4)2=-13 C.(x-4) 2=3 D.(x-8)2=3 4. 若 0 是关于 x 的一元二次方程 (m-1)x 2+6x+m2-1=0 的一个根 , 则 m的 值为( ) A.1 B.-1 C.1 D.以上都不是 5. 若关于 x 的一元二次方程 (a-1)x 2-2x+2=0 有实数根 , 则整数 a 的最 大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6. 已知 x=a 是方程 x 2-3x-5=0 的根, 则代数式 4-2a2+6a的值为 ( ) A.5 B.6 C.-6 D.10 7. 设 a,b 是两个整数 , 若定义一种运算
3、“” ,a b=a 2+b2+ab,则方程 (x+2) x=1 的实数根是( ) A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-2 8. 常数 a,b,c在数轴上的位置如图所示 , 则关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 9. 直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程 x 2-9x+20=0 的两个实数根 , 则该三角形的面积是 ( ) A.6 B.6或 10 C.10 D.12 10. 一元二次方程 (x+1)(x-3)=2x-5的根
4、的情况是( ) A.无实数根 B.有一个正根 , 一个负根 C.有两个正根 , 且都小于 3 D. 有两个正根 , 且有一根大于 3 11. 某市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售 , 由于国务院 有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望 , 为了加快资金周转 , 房 地产开发商对价格进行连续两次下调后, 决定以每平方米 4 860 元的 均价开盘销售 ,则平均每次下调的百分率是( ) A.8% B.9% C.10% D.11% 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+2x+m-2=0有两个实数根 ,m 为正整 数, 且该方程的根都是整数 , 则符合条件的所有正整数m的和为
5、( ) A.6 B.5 C.4 D.3 13. 已知实数 x 满足(x 2+3x)2+2(x2+3x)-3=0, 那么 x2+3x 的值为 ( ) A.3 B.-3或 1 C.1 D.-1或 3 14. 若 t 是关于 x 的方程 ax 2+2x+c=0(a0)的一个根 , 设 M=1-ac,N=(at+1) 2, 则 M与 N的大小关系为 ( ) A.MN B.M=N C.M0), 则这两段铁丝的总长是 cm. 19. 如果关于 x的一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a0)有两个实数根 , 且其 中一个根为另一个根的2 倍,那么称这样的方程为“倍根方程”. 以 下关于倍根方程的说法 :
6、方程 x 2-3x+2=0 是倍根方程 ; 若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程 , 则 4m 2+5mn+n2=0; 若 pq=2,则关于 x 的方程 px 2+3x+q=0是倍根方程 ; 若方程 ax 2+bx+c=0是倍根方程 , 且 5a+b=0,则方程 ax2+bx+c=0的一 个根为 5 4. 其中正确的是 .( 填序号 ) 三、解答题 (本大题有 7 个小题 ,共 69 分. 解答应写出文字说明、 证明 过程或演算步骤 ) 20.( 本小题满分 8 分) 用适当的方法解下列方程: (1)9(x-2) 2-25=0; (2)3x 2-7x+2=0; (3)(x+1)(x-2)=x
7、+1; (4)(3x-2) 2=(2x-3)2. 21.( 本小题满分 9 分) 已知关于 x 的一元二次方程 2x 2+4x+m-1=0有实数根 . (1) 求 m的取值范围 ; (2) 若 m是正整数 , 方程的根是整数 , 求 m的值. 22.( 本小题满分 9 分) 如图, 某农场要建一个长方形的养兔场, 兔场的两边靠墙 , 两堵墙互相 垂直, 长度足够长 , 另两边用木栏围成 , 木栏总长 20 m. (1) 兔场的面积能达到96 m 2 吗?若能, 请你给出设计方案 . (2) 兔场的面积能达到110 m 2 吗? 23.( 本小题满分 9 分) 在等腰三角形 ABC 中, 三边长
8、分别为 a,b,c, 其中 =4,若b,c 是关于 x 的方程 x 2-(2k+1)x+4(k-1 2 )=0 的两个实数根 , 求ABC的周长 . 24.( 本小题满分 10 分) 某精品店购进甲、乙两种小礼品,已知 1 件甲礼品的进价比1 件乙礼 品的进价多 1 元, 购进 2 件甲礼品与 1 件乙礼品共需 11 元. (1) 求甲礼品的进价 . (2) 经市场调查发现 , 若甲礼品按 6元/ 件销售 , 则每天可卖 40件; 若按 5 元/ 件销售, 则每天可卖 60 件.假设每天销售的件数y 与售价 x( 元/ 件)之间满足一次函数关系 , 求 y 与 x 之间的函数关系式 . (3)
9、 在(2) 的条件下 ,当甲礼品的售价定为多少时, 才能使每天销售甲 礼品的利润为 60 元? 25.( 本小题满分 12 分) 阅读材料 : 求解一元一次方程 ,根据等式的基本性质 , 把方程转化为 x=a 的形式 . 求解二元一次方程组 , 把它转化为一元一次方程来解. 类似的 , 求解三 元一次方程组 ,把它转化为解二元一次方程组. 求解一元二次方程 , 把 它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程 , 把它转化为整式方 程来解 , 由于“去分母”可能产生增根, 所以解分式方程必须检验. 各 类方程的解法不尽相同 ,但是它们有一个共同的基本数学思想转 化, 把未知转化为已知 . 用“转
10、化”的数学思想 ,我们还可以解一些新的方程. 例如,一元三次 方程 x 3+x2-2x=0 可以通过因式分解把它转化为 x(x 2+x-2)=0, 解方程 x=0 和 x 2+x-2=0, 可得方程 x3+x2-2x=0 的解. (1) 问题: 方程 x 3+x2-2x=0 的解是 x 1=0,x2= ,x3= . (2) 拓展: 用“转化”思想求方程 2x + 3=x 的解. (3) 应用: 如图,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8 m,宽 AB=3 m,小华把一 根长为 10 m 的绳子的一端固定在点B,沿草坪边 BA,AD走到点 P处, 把长绳 PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边
11、PD,DC走到点 C处, 把 长绳剩下的一段拉直 , 长绳的另一端恰好落在点C.求 AP的长. 26.( 本小题满分 12 分) 如图, 已知ABC是边长为 3 cm 的等边三角形 ,动点 P,Q同时从 A,B 两点出发 , 分别沿 AB,BC方向匀速移动 , 它们的速度都是 1 cm/s, 当点 P到达点 B时,P,Q 两点停止运动 .设点 P的运动时间为 t s, 是否存在 某一时刻 , 使四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的 2 3, 且点 P到 BC的距离 与线段 PB的长的比值为 3 2 ?如果存在 , 求出相应的 t 值; 如果不存在 , 请说明理由 . 参考答案 题号1 2
12、 3 4 5 6 7 8 答案C D C B A C C B 题号9 10 11 12 13 14 15 16 答案A D C B C B C D 17.-3 18.420 19. 20. (1)9(x-2) 2-25=0, 移项、方程两边同除以9, 得(x-2) 2=25 9 , 两边开平方 , 得 x- 2= 5 3 , x1= 1 3,x 2= 11 3 . (2) 对于方程 3x 2-7x+2=0,a=3,b=-7,c=2, 代入求根公式可得 x= 749- 4 32 23 , 解得 x1=2,x2= 1 3 . (3)(x+1)(x-2)=x+1, 移项、提公因式 , 得(x+1)(
13、x-2-1)=0, x+1=0或 x-3=0, x1=-1,x2=3. (4)(3x-2) 2=(2x-3)2, 移项, 得(3x-2) 2-(2x-3)2=0, (3x -2-2x+3)(3x-2+2x-3)=0, x+1=0或 5x-5=0, x1=-1,x2=1. 21. (1) 方程 2x 2+4x+m-1=0有实数根 , b 2-4ac=42-42(m-1)=24- 8m 0, 解得 m 3. (2) m 3 且 m是正整数 , m=1,2,3. 当 m=1时, 原方程为 x 2+2x=0,即 x(x+2)=0, 解得 x 1=0,x2=-2, 符合题意 ; 当 m=2时, 原方程为
14、 2x 2+4x+1=0,解得 x 1= - 2+ 2 2 ,x2= - 2- 2 2 , 不符合题意 ; 当 m=3时, 原方程为 x 2+2x+1=0,解得 x 1=x2=-1, 符合题意 . 故 m的值为 1 或 3. 22. (1) 设长方形一边的长为x m, 则另一边的长为 (20-x)m, 令 x(20-x)=96, 整理, 得 x 2-20 x+96=0, 解得 x1=12,x2=8, 所以兔场的面积能达到96 m 2, 设计方案为兔场的一边的长为 12 m,另 一边的长为 8 m. (2) 设兔场的一边的长为y m, 则另一边的长为 (20-y)m, 令 y(20-y)=110
15、, 整理, 得 y 2-20y+110=0, 因为 b 2-4ac=400-440=-400, 所以原方程无解 . 故兔场的面积不能达到110 m 2. 23. 当 a=4 为腰长时 , 将 x=4 代入原方程 , 得 4 2-4(2k+1)+4(k-1 2)=0, 解得 k=5 2, 原方程为 x 2-6x+8=0, 解得 x1=2,x2=4, 此时ABC的周长为 4+4+2=10. 当 a=4 为底边长时 , = -(2k+1) 2 -414(k - 1 2 )=(2k-3) 2=0, 解得 k=3 2, 原方程为 x 2-4x+4=0, 解得 x3=2,x4=2, 2+2=4,此时边长为 a,b,c 的三条线段不能围成三角形. 综上所述 , ABC的周长为 10. 24. (1) 设甲礼品的进价为m元/件, 乙礼品的进价为n 元/ 件, 根据题意得 m - n = 1, 2m + n = 11, 解得 m = 4, n = 3. 答: 甲礼品的进价为 4 元/ 件. (2) 设甲礼品每天销售的件数y与售价 x之间的函数关系式为y=kx+b, 根据题意可得 6k + b = 40, 5k + b = 60, 解得 k = -20, b = 16
