概率随机变量及其分布2

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1、专题六：概率统计、算法初步、复数第二讲概率、随机变量及其分布基础知识回顾:一、基础训练（1） （2009 江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 。（2） （2009 安徽文卷）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_（3） 【08 江苏 6】在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区xoyD域， 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 中随机投一点，则落入 中的概率

2、E E（4） 【08 上海理 7】在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）(5) （2010 安徽文） （10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A） 318 （A） 418 （A） 518 （A） 618(6) （2010 江西理）一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方

3、法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1p和 2，则A. 1p= 2 B. 1p D。以上三种情况都有可能(7) （2010 湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是A 512 B C 712 D 34(8)（2010 湖北文）13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4 个病人中至少3 人被治愈的概率为_（用数字作答）二、例 题考点一、随机事件的概率（1） （2009 福建卷文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各

4、一个，现一次有放回地随机摸取 3 次，每次摸取一个球（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； （）若摸到红球时得 2 分，摸到黑球时得 1 分，求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。（2） 【08 安徽文 18】在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（）若某位被测试者从 10 张卡片中

5、一次随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。变式训练（1） （08 北京文 18）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名ABCD， ， ，志愿者（）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率(2) （11 山东 18）甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女.（）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率；（）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名

6、教师来自同一学校的概率.考点二、独立、互斥事件的概率（1） (2009 山东卷理)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q 2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为0 2 3 4 5 p p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） q 2的值； （2）求随机变量 的数学期望 E ;试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3

7、分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。（2） 【08 福建文 18】三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 且他们1,543是否破译出密码互不影响.()求恰有二人破译出密码的概率；()“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由（3） 【08 湖南文 16】甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求：21（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。变式训练（1） 【08 全国文 19】甲

8、、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹根据以往资料知，甲击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为 0.4，0.4，0.2设甲、乙的射击相互独立（）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率(2)（2010 安徽理）甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 12,A和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表

9、示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号） 。 25PB； 15|P； 事件 B与事件 1A相互独立； 123,A是两两互斥的事件； 的值不能确定，因为它与 23,中哪一个发生有关。考点三、概率与随即变量的分布列的综合应用（1） （2010 浙江理 19）如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为 l，2，3 等奖（I）已知获得 l，2，3 等奖的折扣率分别为 50，70，90记随变量 为获得 k(k=1,2

10、,3)等奖的折扣率，求随机变量 的分布列及期望 E；(II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动，记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求)2P（2） （2010 全国卷 2 理） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1， T2， T3， T4，电流能通过T1， T2， T3的概率都是 p，电流能通过 T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知 T1， T2， T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求 p； （）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率；（） 表示 T1， T2， T3， T4中能通过电流的元件个数，求 的期

11、望（3） （2010 江西理）18. （本小题满分 12 分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。（1） 求 的分布列；（2） 求 的数学期望。变式训练（1） （2010 四川理） （17） （本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为

12、中奖，中奖概率为 16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖 人数 的分布列及数学期望 E .（2） （2010 天津理）某射手每次射击击中目标的概率是 23，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率（）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 为射手射击 3 次

13、后的总的分数，求 的分布列。三、练习巩固1（2010 湖南理）11在区间 上随机取一个数 x，则 的概率为 2（2010 重庆文） （14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 170、169、 8，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_ .3（2010 辽宁文） （13）三张卡片上分别写上字母 E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词 BEE 的概率为 。 4（2010 福建理）13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问

14、题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。5（2010 江苏卷）3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.6（11 年安徽理）工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ，假设,p,p互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.,p（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是,q,q的一个排列，求所需派出人员数 目 的分布列和均值（数字期望） ；,p XEX（）假定 ，试分析以怎样的 先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值p（数字期望）达到最小。