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1、湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(三) 作者： 日期：15 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）姓名： 班级 ： 分数 ： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算: .设，则集合的所有元素之和为（ ）A.16 B.18 C. 20 D.222.已知是等比数列，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D.已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立则是的（）
2、必要而不充分条件充分而不必要条件充分而且必要条件既不充分又不必要条件5设函数定义在上，给出下述三个命题：满足条件的函数图象关于点对称；满足条件的函数图象关于直线对称；函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦、可能相交于点 弦、可能相交于点的最大值为5 的最小值为1其中真命题为（ ）A. B. C. D.7.设，,则的大小关系是（）8. 设函数，且，则（ ）A.2 B.1 C.0 D.二
3、、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为10.已知集合，若点、点满足且，则称点优于. 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则所有这样的点构成的集合为 11.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为 .（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方
4、格，则有 不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15（本小题满分14分）设实数，求证：其中等号当且仅当或成立，为正实数.6（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”试求此项赛事爆出冷门的概率17. （本小题满分16分）已知函数在区间上的最小值为，令
5、，求证：18. （本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当时，定点平分线段湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答1.解：集合的元素：，故集合的所有元素之和为16. 选A.2. 解: 设的公比为，则，进而.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列. .显然，. 选C.3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种. 故每个场馆
6、至少有一名志愿者的概率为.选D. 解：设，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离. 当时，由点与直线之间垂直距离最短知，即对一切，不等式恒成立反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，即. 选C.5解：用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故是真命题.用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故是真命题.由是真命题，不难推知也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设、相交于点，则、共面，所以、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以是错的容易证明，当以为直径的圆面与以为直径
7、的圆面平行且在球心两侧时，最大为，故对当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故对.显然是对的显然是对的.故选7. 解：因为，所以，；又，故故选B.8. 解：由，令，则为奇函数且单调递增. 而,所以,从而,即,故.选D.9 解：由条件得 当时，化为，无解；当时，化为，无解；当时，化为 若，则，线段长度为；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为填10. 解:优于，即位于的左上方，“不存在中的其它点优于”，即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为.填11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程 的不超过去100的自然
8、数解的组数.显然，方程的自然数解的组数为下面求方程的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设.将方程化为记，则方程的自然数解的组数为因此，的系数为.填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为，底面面积为.又因为体积为，所以高为.该球的直径为，球的体积.填.13.解：第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第
9、二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为种.填90.14.解：令，则 故是周期为5的函数. 计算可知：；. 所以，；.以上各式叠加，得；同理可得.所以，第2008棵树的种植点为.填.15证明：由对称性，不妨设，令，则因，可得（3分）设，则对求导，得.（6分）易知，当时，单调递减；当时，单调递增. （9分）故在或处有最大值且及两者相等.故的最大值为，即.（12分）由，得，其中等号仅当或成立.（14分）6 解：如果某方以或获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”（
10、3分）乙胜五局的概率为；（6分）乙胜四局负一局的概率为；（9分）乙胜三局负二局的概率为（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为（14分）17. 解：（1）因为，所以函数的定义域为，（2分）又.（5分）当时， ，即在上是减函数，故（8分）因为,所以.（12分）又容易证明，所以，（14分） .即 （16分）18. 证明：（1）设、. 则椭圆过点、的切线方程分别为，.（3分）因为两切线都过点，则有，.这表明、均在直线 上.由两点决定一条直线知，式就是直线的方程，其中满足直线的方程.（6分）（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为代入消去得 对一切恒成立. （9分）变形可得 对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.（12分）（2）当时，由式知 解得代入，得此时的方程为 将此方程与椭圆方程联立，消去得（15分）由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即代入式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即这就是说，点平分线段.（18分）
