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1、计算机的运算方法,第 六 章,1. 最少用几位二进制数即可表示任一五位长的十进制正整数？ 解：五位长的十进制正整数中，最大的数99999满足条件：216（=65536）99999217（=131072），故最少用17位二进制数即可表示任一五位长的十进制正整数。,9,2. 已知X=0.a1a2a3a4a5a6（ai为0或1），讨论下列几种情况时ai各取何值。 （1）X 1/2； （2）X 1/8； （3）1/4 X 1/16 解： （1）若要X 1/2，只要a1=1，a2a6不全为0即可（a2 or a3 or a4 or a5 or a6 = 1）； （2）若要X 1/8，只要a1a3不全为0
2、即可（a1 or a2 or a3 =1）， a4a6可任取0或1；,（3）若要1/4 X 1/16，只要a1=0，a2可任取0或1； 当a2=0时，若a3=0，则必须a4=1，且a5、a6不全为0（a5 or a6=1；若a3=1，则a4a6可任取0或1； 当a2=1时， a3a6可任取0或1。 3. 设x为整数，x补=1，x1x2x3x4x5，若要求 x -16，试问 x1x5 应取何值？ 解：若要x -16，需 x1=0，x2x5 任意。（注：负数绝对值大的反而小。）,4. 设机器数字长为8位（含1位符号位在内），写出对应下列各真值的原码、补码和反码。 -13/64，29/128，100
3、，-87 解：真值与不同机器码对应关系如下：,真 值 十进制 二进制 原 码 反 码 补 码 -13/64 -0.00 1101 1.001 1010 1.110 0101 1.110 0110 29/128 0.001 1101 0.001 1101 0.001 1101 0.001 1101 100 110 0100 0,110 0100 0,110 0100 0,110 0100 -87 -101 0111 1,101 0111 1,010 1000 1,010 1001,5. 已知x补，求x原和x。x1补=1. 1100； x2补=1. 1001； x3补=0. 1110； x4补=1
4、. 0000； x5补=1，0101； x6补=1，1100； x7补=0，0111； x8补=1，0000； 解：x补与x原、x的对应关系如下：,x补 x原 x（二进制） x（十进制） 1.1100 1.0100 -0.0100 -1/4 1.1001 1.0111 -0.0111 -7/16 0.1110 0.1110 +0.1110 +7/8 1.0000 无 -1.0000 -1 1，0101 1，1011 -1011 -11 1，1100 1，0100 -0100 -4 0，0111 0，0111 +0111 +7 1，0000 无 -10000 -16,6. 设机器数字长为8位（含
5、1位符号位在内），分整数和小数两种情况讨论真值x为何值时，x补=x原成立。 解： 当x为小数时，若x 0，则 x补=x原成立； 若x 0，则当x= -1/2时， x补=x原成立。 当x为整数时，若x 0，则 x补=x原成立； 若x 0，则当x= -64时， x补=x原成立。,7. 设x为真值，x*为绝对值，说明-x*补=-x补能否成立。 解：当x为真值，x*为绝对值时，-x*补=-x补不能成立。 -x*补=-x补的结论只在x0时成立。当xy补，是否有xy？ 解：若x补y补，不一定有xy。 x补 y补时 x y的结论只在 x 0、y 0，及 x0、 yy，但由于负数补码的符号位为1，则x补0时，
6、有x y补。,注意： 1）绝对值小的负数其值反而大，且负数的绝对值越小，其补码值越大。因此， 当xy补，必有xy。 2）补码的符号位和数值位为一体，不可分开分析。 3）完整的答案应分四种情况分析，但也可通过充分分析一种不成立的情况获得正确答案。 4）由于补码0的符号位为0，因此x、y=0可归纳到0的一类情况讨论。,9. 当十六进制数9B和FF分别表示为原码、补码、反码、移码和无符号数时，所对应的十进制数各为多少（设机器数采用一位符号位）？ 解：真值和机器数的对应关系如下：,注意： 1）9BH、FFH为机器数，本身含符号位。 2）移码符号位与原、补、反码相反，数值同补码。,10. 在整数定点机中
7、，设机器数采用一位符号位，写出0的原码、补码、反码和移码，得出什么结论？ 解：0的机器数形式如下：,结论：补、移码0的表示唯一，原、反码不唯一。 注意：本题不用分析不同编码间的其他特性。 11. 已知机器数字长为4位（其中1位为符号位），写出整数定点机和小树定点机中原码、补码和反码的全部形式，并注明其对应的十进制真值。,解：机器数与对应的真值形式如下：,续表1：,续表2：,续表3：,12. 设浮点数格式为：阶码5位（含1位阶符），尾数11位（含1位数符） 。写出51/128、27/1024、7.375、-86.5所对应的机器数。要求如下： （1）阶码和尾数均为原码； （2）阶码和尾数均为补码；
8、 （3）阶码为移码，尾数为补码。（注：题意中应补充规格化数的要求。） 解：据题意画出该浮点数的格式： 1 4 1 10,阶符 阶码 数符 尾数,注意： 1）正数补码不“变反+1”。 2）机器数末位的0不能省。,将十进制数转换为二进制： x1=51/128=（0.011 001 1）2 =2-1 （0.110 011）2 x2= -27/1024=（-0.000 001 101 1）2 =2-5 （-0.110 11）2 x3=7.375=（111.011）2 =23 （0.111 011）2 x4= -86.5=（-1 010 110.1）2 =27 （-0.101 011 01）2 则以上各
9、数的浮点规格化数为：（1）x1浮=1，0001；0.110 011 000 0（2）x1浮=1，1111；0.110 011 000 0（3）x1浮=0，1111；0.110 011 000 0,（1）x2浮=1，0101；1.110 110 000 0（2）x2浮=1，1011；1.001 010 000 0（3）x2浮=0，1011；1.001 010 000 0（1）x3浮=0，0011；0.111 011 000 0（2）x3浮=0，0011；0.111 011 000 0（3）x3浮=1，0011；0.111 011 000 0（1）x4浮=0，0111；1.101 011 010
10、0（2）x4浮=0，0111；1.010 100 110 0（3）x4浮=1，0111；1.010 100 110 0注：以上浮点数也可采用如下格式： 1 1 4 10,数符 阶符 阶码 尾数,此时只要将上述答案中的数符位移到最前面即可。,13. 浮点数格式同上题，当阶码基值分别取2和16时， （1）说明2和16在浮点数中如何表示。 （2）基值不同对浮点数什么有影响？ （3）当阶码和尾数均用补码表示，且尾数采用规格化形式，给出两种情况下所能表示的最大正数和非零最小正数真值。 解：（1）阶码基值不论取何值，在浮点数中均为隐含表示，即：2和16不出现在浮点格式中，仅为人为的约定。,（2）当基值不同
11、时，对数的表示范围和精度都有影响。即：在浮点格式不变的情况下，基越大，可表示的浮点数范围越大，但精度越下降。 （3）r=2时，最大正数的浮点格式为： 0，1111；0.111 111 111 1 其真值为：N+max=215（1-2-10） 非零最小规格化正数浮点格式为： 1，0000；0.100 000 000 0 其真值为：N+min=2-162-1=2-17 r=16时，最大正数的浮点格式为： 0，1111；0.1111 1111 11 其真值为：N+max=1615（1-2-10） 非零最小规格化正数浮点格式为： 1，0000；0.0001 0000 00 其真值为：N+min=16-
12、1616-1=16-17,14. 设浮点数字长为32位，欲表示6万间的十进制数，在保证数的最大精度条件下，除阶符、数符各取一位外，阶码和尾数各取几位？按这样分配，该浮点数溢出的条件是什么？ 解：若要保证数的最大精度，应取阶的基=2。 若要表示6万间的十进制数，由于32768（215） 6万 65536（216），则：阶码除阶符外还应取5位（向上取2的幂）。 故：尾数位数=32-1-1-5=25位 按此格式，该浮点数上溢的条件为：阶码 32 该浮点数格式如下： 1 5 1 25,15. 什么是机器零？若要求全0表示机器零，浮点数的阶码和尾数应采取什么机器数形式？ 解：机器零指机器数所表示的零的形
13、式，它与真值零的区别是：机器零在数轴上表示为“0”点及其附近的一段区域，即在计算机中小到机器数的精度达不到的数均视为“机器零”，而真零对应数轴上的一点（0点）。若要求用“全0”表示浮点机器零，则浮点数的阶码应用移码、尾数用补码表示（此时阶码为最小阶、尾数为零，而移码的最小码值正好为“0”，补码的零的形式也为“0”，拼起来正好为一串0的形式）。,16. 设机器数字长为16位，写出下列各种情况下它能表示的数的范围。设机器数采用一位符号位，答案均用十进制表示。 （1）无符号数； （2）原码表示的定点小数； （3）补码表示的定点小数； （4）补码表示的定点整数； （5）原码表示的定点整数； （6）浮点
14、数的格式为：阶码6位（含1位阶符），尾数10位（含1位数符）。分别写出正数和负数的表示范围； （注：加条件：阶原尾原非规格化数。） （7）浮点数格式同（6），机器数采用补码规格化形式，分别写出其对应的正数和负数的真值范围。,解：各种表示方法数据范围如下：（1）无符号整数：0 216 - 1， 即：0 65535；（2）原码定点小数： 1 - 2-15 -（1 - 2-15）（3）补码定点小数： 1 - 2-15 - 1 （4）补码定点整数：215 - 1 -215， 即：32767 -32768；（5）原码定点整数： 215 - 1 -（215 - 1）， 即：32767 -32767；,（6
15、）据题意画出该浮点数格式： 1 5 1 9,阶符 阶码 数符 尾数,由于题意中未指定该浮点数所采用的码制，则不同的假设前提会导致不同的答案，示意如下： 1）当采用阶原尾原非规格化数时， 最大正数=0，11 111；0.111 111 111 最小正数=1，11 111；0.000 000 001 则正数表示范围为： 231（1-2-9）2-31 2-9,最大负数=1，11 111；1.000 000 001最小负数=0，11 111；1.111 111 111 则负数表示范围为： 2-31 （-2-9） -231 （1-2-9）2）当采用阶移尾原非规格化数时， 正数表示范围为： 231 （1-2-9） 2-32 2-9 负数表示范围为： 2-32 （-2-9） -231（1-2-9）注：零视为中性数，不在此范围内。,（7）当机器数采用补码规格化形式时，若不考虑隐藏位，则最大正数=0，11 111；0.111 111 111最小正数=1，00 000；0.100 000 000 其对应的正数真值范围为： 231（1-2-9）2-32 2-
