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1、江苏省 13 市 2015 年中考数学试题分类解析汇编(20 专题) 专题 19:综合型问题 1. (2015 年江苏连云港3 分) 如图, O 是坐标原点,菱形OABC 的顶点 A 的坐标为3 4,顶点 C 在 x 轴 的负半轴上,函数 0 k y x x的图象经过顶点B,则 k 的值为【】 A. 12B. 27C. 32D. 36 【答案】C 【考点】 菱形的性质;勾股定理;曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】 根据点 A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标,然后利 用待定系数法求出k 的值: 如答图,过点 A作ADCO于点D, A 的坐标为34,3,4ODAD. 在Rt A
2、OD中,根据勾股定理,得5OA. 菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为34,顶点 C 在 x 轴的负半轴上,点B 的坐标为8 4,. 函数0k xb的解集为 【】 A. 2xC. 5x 【答案】 C. 【考点】 直线的平移;不等式的图象解法;数形结合思想的应用. 【分析】 如答图,将函数ykxb的图像向右平移3 个单位得到函数3yk xb的图象, 由图象可知,当0yk xb. 关于x的不等式30k xb的解集为5x. 故选 C. 3. (2015 年江苏南通3 分) 如图, AB 为 O 的直径, C 为 O 上一点,弦AD 平分 BAC,交 BC 于点 E, AB=6,AD=5,则 AE 的
3、长为【】 A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.2 【答案】 B. 【考点】 圆周角定理;勾股定理;相似三角形的判定和性质. 【分析】 如答图,连接BD、CD, AB 为 O 的直径, ADB =90 . 2222 6511BDABAD. 弦 AD 平分 BAC, CD=BD=11. CBD= DAB. 在 ABD 和 BED 中, BAD =EBD, ADB=BDE, ABD BED. DEDB DBAD ,即 1111 5511 DE DE. 11 52.8 5 AEABDE 故选 B. 4. (2015 年江苏镇江3 分) 如图,坐标原点O 为矩形 ABCD 的对称中心,顶点A
4、 的坐标为( 1,t) ,ABx 轴, 矩形A B C D与矩形 ABCD 是位似图形, 点 O 为位似中心, 点 A , B分别是点A, B 的对应点, A B k AB 已 知关于 x,y 的二元一次方程 21 34 mnxyn xy (m,n 是实数)无解,在以m,n 为坐标(记为(m,n) )的 所有的点中,若有且只有一个点落在矩形A B C D的边上,则k t的值等于【】 A. 3 4 B. 1C. 4 3 D. 3 2 【答案】 D 【考点】 位似变换;二元一次方程组的解;坐标与图形性质;反比例函数的性质;曲线上点的坐标与方程的 关系 【分析】 坐标原点O 为矩形 ABCD 的对称
5、中心,顶点A 的坐标为( 1,t) ,点 C 的坐标为1t- ,-. 矩形A B C D与矩形 ABCD 是位似图形, A B k AB , 点 A 的坐标为kkt,点 C的坐标为kkt,-. 关于 x, y 的二元一次方程 21 34 mnxyn xy (m,n 是实数)无解, 由323mnxn得 mn=3,且 3 2 n,即 3 n m (m 2). 以 m,n 为坐标(记为(m, n) )的所有的点中,有且只有一个点落在矩形A B C D的边上, 反比例函数 3 n m 的图象只经过点A 或 C . 而根据反比例函数的对称性,反比例函数 3 n m 的图象同时经过点A 或 C,只有在 3
6、 2, 2 A, 3 2, 2 C时反比例函数 3 n m 的图象只经过点C . 33 22 ktkt-. 故选 D 1. (2015 年江苏苏州3 分) 如图,四边形ABCD 为矩形,过点D 作对角线BD 的垂线,交BC 的延长线于点 E,取 BE 的中点 F,连接 DF,DF =4设 AB=x,AD=y,则 2 2 4xy的值为 【答案】 16. 【考点】 代数式的几何意义;矩形的性质;直角三角形斜边上中线的性质;勾股定理. 【分析】 四边形ABCD 为矩形, AB=x,AD=y, DC=x,BC=y. 在Rt BDE中,点 F 是斜边 BE 的中点, DF=4, BF= DF=4. 在R
7、t DCF中, 222 DCCFDF,即 2 22 44xy. 2 2 416xy. 2. (2015 年江苏泰州3 分) 点 1 , 1 ya、 2 , 1 ya在反比例函数0k x k y的图像上, 若 21 yy,则a 的范围是 【答案】1 0 1 0 a a 或 1 0 a a . 解 1 0 11 1 a a ,无解;解 1 0 a a 得 1 11 a a a . a的范围是11a. 3. (2015 年江苏扬州3 分) 如图,已知 ABC 的三边长为abc、 、,且abc,若平行于三角形一边的直 线l将 ABC 的周长分成相等的两部分,设图中的小三角形、的面积分别为 123 ss
8、s、, 则 123 sss、的 大小关系是 (用 “”号连接) . 【答案】 132 sss. 【考点】 阅读理解型问题;代数几何综合问题;图形的分割;平行的性质;相似三角形的判定和性质;不等 式的性质 . 【分析】 设ABC 的周长为 m ,面积为S, 如答图,设,ADxAEy,则,BDcxCEby. 平行于三角形一边的直线l将 ABC 的周长分成相等的两部分, ADAEBDCEBC,即xycxbya. 11 22 xyabcm. DCBC,ADEABC. 2 1 sAD SAB 且 1 2 2 m ADAEADAExym ABACABACcbbcbc . 1 2 sm Sbc . 同理可得
9、, 2 2 sm Sab , 3 2 sm Sac . abc, 3 12 0 222 sssmmm abacbc bcacbcSSS . 132sss. 4. (2015 年江苏常州2 分 )如图,在 O 的内接四边形ABCD 中,AB=3,AD=5, BAD=60 ,点 C 为弧 BD 的中点,则AC 的长是 【答案】 8 3 3 . 【考点】 全等三角形的判定和性质;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;锐角三角函数定义; 特殊角的三角函数值;方程思想的应用 【分析】 如答图,过点C 分别作 CEAB 于点 E,CFAD 于点 F, 则 E=CFD=CFA=90 , 点 C 为弧
10、BD 的中点, ? BCCD. BAC=DAC,BC=CD. CEAB,CFAD, CE=CF. A、B、C、D 四点共圆,D=CBE. 在 CBE 和 CDF 中, CBED ECFD CECF , CBE CDF (AAS).BE=DF . 在 AEC 和 AFC 中, EAFC EACFAC ACAC AEC AFC(AAS).AE=AF. 设 BE=DF=x, AB=3,AD=5, AE=AF=x+3, 5=x+3+x,解得: x=1,即 AE=4. BAD=60 , EAC= 30 . 0 448 3 coscos603 3 2 AE AC EAC . 5. (2015 年江苏南通3
11、 分) 关于 x 的一元二次方程 2 310axx的两个不相等的实数根都在1 和 0 之间 (不包括 1 和 0) ,则 a 的取值范围是 【答案】 9 9 4341 0 4 a a a aa 且0a. 设 2 31yaxx 实数根都在1 和 0 之间, 当 a0 时,如答图1, 由图可知,当0 x时, 0y;但0011y,矛盾, 此种情况不存在. 当 a0 时,如答图2, 由图可知,当1x时, 0y,即31 02aa. 综上所述, a 的取值范围是 9 2 4 a. 6. (2015 年江苏宿迁3 分) 如图,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为( 0,4) ,直线 3 3 4 yx与 x 轴
12、、 y 轴分别交于点A, B,点 M 是直线 AB 上的一个动点,则PM 长的最小值为 【答案】 28 5 . 【考点】 单动点问题;直线上点的坐标与方程的关系;垂线段最短的性质;勾股 定理;相似三角形的判定和性质 【分析】 根据垂线段最短得出PMAB 时线段PM 最短,分别求出PB、 OB、 OA、AB 的长度,利用PBM ABO,即可求出答案 如答图,过点P 作 PM AB,则: PMB=90 , 当 PMAB 时, PM 最短, 直线 3 3 4 yx与 x轴、 y 轴分别交于点A,B, 点 A 的坐标为( 4,0) ,点 B 的坐标为( 0, 3). 在 Rt AOB 中, AO=4,
13、BO=3,根据勾股定理,得AB=5. BMP= AOB=90 , ABO=PBM, PBM ABO. PBPM ABAO ,即: 43 54 PM ,解得 28 5 PM. 7. ( 2015年江苏宿迁3 分) 当 x=m或 x=n (m n) 时, 代数式 2 23xx的值相等,则 x=m+n 时, 代数式 2 23xx 的值为 【答案】 3 【考点】 二次函数的性质;求代数式的值;整体思想的应用. 【分析】 设 2 23yxx, 当 x=m 或 x=n(m n)时,代数式 2 23xx的值相等, 抛物线 2 23yxx的对称轴 2 2 12 mn x. 2mn. 当2xmn时, 22 23
14、22233xx. 8. (2015 年江苏镇江2 分) 如图, AB 是 O 的直径, OA=1,AC 是 O 的弦,过点C 的切线交AB 的延长 线于点 D,若21BD,则 ACD= 【答案】 112.5 【考点】 切线的性质;勾股定理;等腰直角三角形的判定和性质. 【分析】 如答图,连接OC DC 是 O 的切线, OCDC. 21BD, OA=OB=OC=1 ,2OD. 2 222 211CDODOC. OC=CD. DOC=45 . OA=OC , OAC= OCA. OCA= 1 2 DOC=22.5 . ACD= OCA+ OCD=22.5 +90 =112.5 9. (2015
15、年江苏镇江2 分) 写一个你喜欢的实数m 的值 ,使得事件 “ 对于二次函数 21 13 2 yxmx,当 x 3 时, y 随 x 的增大而减小” 成为随机事件 【答案】 3(答案不唯一) 【考点】 开放型;随机事件;二次函数的性质 【分析】 二次函数 21 13 2 yxmx的对称轴为 1 1 1 2 2 m ym, 当 x 3 时, y 随 x 的增大而减小,13m,解得0 k yk x 的图像经过点D 且与边 BA 交于点 E,连接 DE . (1)连接 OE,若 EOA 的面积为2,则 k= ; (2)连接 CA、 DE 与 CA 是否平行?请说明理由; (3)是否存在点D,使得点
16、B 关于 DE 的对称点在OC 上?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理 由. 【答案】 解: (1)4. (2)平行,理由如下: 如答图 1,连接 AC, 设, 5 ,3,D aEb, , 5 ,3,D aEb在0 k yk x 上, 5 5 33 kk a a kk bb . BC=OA=3,AB=OC=5, BD=3 5 k ,BE=5 3 k . 3 33 5 , 55 5 3 k BCBD k ABBE . BCBD ABBE ,即 BCAB BDBE . DE AC (3)存在 . 假设存在点D 满足条件设, 5 ,3, 53 kk DE, 则 CD= 5 k ,BD=3 5 k ,AE= 3 k ,BE=5 3 k 如答图 2,过点 E 作 EFOC,