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1、江苏省 13 市 2015 年中考数学试题分类解析汇编（20 专题） 专题 19：综合型问题 1. （2015 年江苏连云港3 分） 如图， O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为3 4，顶点 C 在 x 轴 的负半轴上，函数 0 k y x x的图象经过顶点B，则 k 的值为【】 A. 12B. 27C. 32D. 36 【答案】C 【考点】 菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】 根据点 A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标，然后利 用待定系数法求出k 的值： 如答图，过点 A作ADCO于点D， A 的坐标为34，3,4ODAD. 在Rt A
2、OD中，根据勾股定理，得5OA. 菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为34，顶点 C 在 x 轴的负半轴上，点B 的坐标为8 4，. 函数0k xb的解集为 【】 A. 2xC. 5x 【答案】 C. 【考点】 直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用. 【分析】 如答图，将函数ykxb的图像向右平移3 个单位得到函数3yk xb的图象， 由图象可知，当0yk xb. 关于x的不等式30k xb的解集为5x. 故选 C. 3. （2015 年江苏南通3 分） 如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，弦AD 平分 BAC，交 BC 于点 E， AB=6，AD=5，则 AE 的
3、长为【】 A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.2 【答案】 B. 【考点】 圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】 如答图，连接BD、CD， AB 为 O 的直径， ADB =90 . 2222 6511BDABAD. 弦 AD 平分 BAC， CD=BD=11. CBD= DAB. 在 ABD 和 BED 中， BAD =EBD， ADB=BDE， ABD BED. DEDB DBAD ，即 1111 5511 DE DE. 11 52.8 5 AEABDE 故选 B. 4. （2015 年江苏镇江3 分） 如图，坐标原点O 为矩形 ABCD 的对称中心，顶点A
4、 的坐标为（ 1，t） ，ABx 轴， 矩形A B C D与矩形 ABCD 是位似图形， 点 O 为位似中心， 点 A ， B分别是点A， B 的对应点， A B k AB 已 知关于 x，y 的二元一次方程 21 34 mnxyn xy （m，n 是实数）无解，在以m，n 为坐标（记为（m，n） ）的 所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D的边上，则k t的值等于【】 A. 3 4 B. 1C. 4 3 D. 3 2 【答案】 D 【考点】 位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的 关系 【分析】 坐标原点O 为矩形 ABCD 的对称
5、中心，顶点A 的坐标为（ 1，t） ，点 C 的坐标为1t- ，-. 矩形A B C D与矩形 ABCD 是位似图形， A B k AB ， 点 A 的坐标为kkt，点 C的坐标为kkt，-. 关于 x， y 的二元一次方程 21 34 mnxyn xy （m，n 是实数）无解， 由323mnxn得 mn=3，且 3 2 n，即 3 n m （m 2）. 以 m，n 为坐标（记为（m， n） ）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D的边上， 反比例函数 3 n m 的图象只经过点A 或 C . 而根据反比例函数的对称性，反比例函数 3 n m 的图象同时经过点A 或 C，只有在 3
6、 2, 2 A， 3 2, 2 C时反比例函数 3 n m 的图象只经过点C . 33 22 ktkt-. 故选 D 1. （2015 年江苏苏州3 分） 如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点 E，取 BE 的中点 F，连接 DF，DF =4设 AB=x，AD=y，则 2 2 4xy的值为 【答案】 16. 【考点】 代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】 四边形ABCD 为矩形， AB=x，AD=y， DC=x，BC=y. 在Rt BDE中，点 F 是斜边 BE 的中点， DF=4， BF= DF=4. 在R
7、t DCF中， 222 DCCFDF，即 2 22 44xy. 2 2 416xy. 2. （2015 年江苏泰州3 分） 点 1 , 1 ya、 2 , 1 ya在反比例函数0k x k y的图像上， 若 21 yy，则a 的范围是 【答案】1 0 1 0 a a 或 1 0 a a . 解 1 0 11 1 a a ，无解；解 1 0 a a 得 1 11 a a a . a的范围是11a. 3. （2015 年江苏扬州3 分） 如图，已知 ABC 的三边长为abc、 、，且abc，若平行于三角形一边的直 线l将 ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形、的面积分别为 123 ss
8、s、， 则 123 sss、的 大小关系是 （用 “”号连接） . 【答案】 132 sss. 【考点】 阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等 式的性质 . 【分析】 设ABC 的周长为 m ，面积为S， 如答图，设,ADxAEy，则,BDcxCEby. 平行于三角形一边的直线l将 ABC 的周长分成相等的两部分， ADAEBDCEBC，即xycxbya. 11 22 xyabcm. DCBC，ADEABC. 2 1 sAD SAB 且 1 2 2 m ADAEADAExym ABACABACcbbcbc . 1 2 sm Sbc . 同理可得
9、， 2 2 sm Sab ， 3 2 sm Sac . abc， 3 12 0 222 sssmmm abacbc bcacbcSSS . 132sss. 4. （2015 年江苏常州2 分 ）如图，在 O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5， BAD=60 ，点 C 为弧 BD 的中点，则AC 的长是 【答案】 8 3 3 . 【考点】 全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义； 特殊角的三角函数值；方程思想的应用 【分析】 如答图，过点C 分别作 CEAB 于点 E，CFAD 于点 F， 则 E=CFD=CFA=90 ， 点 C 为弧
10、BD 的中点， ? BCCD. BAC=DAC，BC=CD. CEAB，CFAD， CE=CF. A、B、C、D 四点共圆，D=CBE. 在 CBE 和 CDF 中， CBED ECFD CECF ， CBE CDF （AAS）.BE=DF . 在 AEC 和 AFC 中， EAFC EACFAC ACAC AEC AFC（AAS）.AE=AF. 设 BE=DF=x， AB=3，AD=5， AE=AF=x+3， 5=x+3+x，解得： x=1，即 AE=4. BAD=60 ， EAC= 30 . 0 448 3 coscos603 3 2 AE AC EAC . 5. （2015 年江苏南通3
11、 分） 关于 x 的一元二次方程 2 310axx的两个不相等的实数根都在1 和 0 之间 （不包括 1 和 0） ，则 a 的取值范围是 【答案】 9 9 4341 0 4 a a a aa 且0a. 设 2 31yaxx 实数根都在1 和 0 之间， 当 a0 时，如答图1， 由图可知，当0 x时， 0y；但0011y，矛盾， 此种情况不存在. 当 a0 时，如答图2， 由图可知，当1x时， 0y，即31 02aa. 综上所述， a 的取值范围是 9 2 4 a. 6. （2015 年江苏宿迁3 分） 如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（ 0，4） ，直线 3 3 4 yx与 x 轴
12、、 y 轴分别交于点A， B，点 M 是直线 AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 【答案】 28 5 . 【考点】 单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股 定理；相似三角形的判定和性质 【分析】 根据垂线段最短得出PMAB 时线段PM 最短，分别求出PB、 OB、 OA、AB 的长度，利用PBM ABO，即可求出答案 如答图，过点P 作 PM AB，则： PMB=90 ， 当 PMAB 时， PM 最短， 直线 3 3 4 yx与 x轴、 y 轴分别交于点A，B， 点 A 的坐标为（ 4，0） ，点 B 的坐标为（ 0， 3）. 在 Rt AOB 中， AO=4，
13、BO=3，根据勾股定理，得AB=5. BMP= AOB=90 ， ABO=PBM， PBM ABO. PBPM ABAO ，即： 43 54 PM ，解得 28 5 PM. 7. （ 2015年江苏宿迁3 分） 当 x=m或 x=n （m n） 时， 代数式 2 23xx的值相等，则 x=m+n 时， 代数式 2 23xx 的值为 【答案】 3 【考点】 二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】 设 2 23yxx， 当 x=m 或 x=n（m n）时，代数式 2 23xx的值相等， 抛物线 2 23yxx的对称轴 2 2 12 mn x. 2mn. 当2xmn时， 22 23
14、22233xx. 8. （2015 年江苏镇江2 分） 如图， AB 是 O 的直径， OA=1，AC 是 O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长 线于点 D，若21BD，则 ACD= 【答案】 112.5 【考点】 切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形的判定和性质. 【分析】 如答图，连接OC DC 是 O 的切线， OCDC. 21BD， OA=OB=OC=1 ，2OD. 2 222 211CDODOC. OC=CD. DOC=45 . OA=OC ， OAC= OCA. OCA= 1 2 DOC=22.5 . ACD= OCA+ OCD=22.5 +90 =112.5 9. （2015
15、年江苏镇江2 分） 写一个你喜欢的实数m 的值 ，使得事件 “ 对于二次函数 21 13 2 yxmx，当 x 3 时， y 随 x 的增大而减小” 成为随机事件 【答案】 3（答案不唯一） 【考点】 开放型；随机事件；二次函数的性质 【分析】 二次函数 21 13 2 yxmx的对称轴为 1 1 1 2 2 m ym， 当 x 3 时， y 随 x 的增大而减小，13m，解得0 k yk x 的图像经过点D 且与边 BA 交于点 E，连接 DE . （1）连接 OE，若 EOA 的面积为2，则 k= ； （2）连接 CA、 DE 与 CA 是否平行？请说明理由； （3）是否存在点D，使得点
16、B 关于 DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理 由. 【答案】 解： （1）4. （2）平行，理由如下： 如答图 1，连接 AC， 设, 5 ,3,D aEb， , 5 ,3,D aEb在0 k yk x 上， 5 5 33 kk a a kk bb . BC=OA=3，AB=OC=5， BD=3 5 k ，BE=5 3 k . 3 33 5 , 55 5 3 k BCBD k ABBE . BCBD ABBE ，即 BCAB BDBE . DE AC （3）存在 . 假设存在点D 满足条件设, 5 ,3, 53 kk DE， 则 CD= 5 k ，BD=3 5 k ，AE= 3 k ，BE=5 3 k 如答图 2，过点 E 作 EFOC，
