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1、1,第九章导 热,本章基本要求及重点:,（1）傅里叶定律表达式及其适用条件;,（2）物体导热系数的数值范围及特点;.,（3）导热问题的数学描述（数学模型）;,（4）平壁、圆筒壁、肋壁的一维稳态导热问题的分析求解;,（5）非稳态导热的特点、无限大平壁冷却或加热问题的分析求解方法、分析解的特点及其影响因素。,2,主要内容,本章首先阐述导热的基本概念、基本定律、导热问题的数学描述方法，为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础，然后讨论几种简单的稳态导热、非稳态导热的分析解法。,3,研究方法,从连续介质的假设出发，从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。,连续介质,一般情况下
2、，绝大多数固体、液体及气体都可以看作连续介质。但是当分子的平均自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能认为是连续介质。,4,9-1 导热理论基础,主要内容,（1）与导热有关的基本概念；,（2）导热基本定律 ；,（3）导热现象的数学描述方法。,为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。,1. 导热的基本概念,（1） 温度场,在 时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的温度场。,5,一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为,非稳态温度场,：温度随时间变化的温度场，其中的导热称为非稳态导热。,稳态温度场,：温度不随时间变化的温度场
3、，其中的导热称为稳态导热。,一维温度场,二维温度场,三维温度场,6,（2）等温面与等温线,在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。,等温面上任何一条线都是等温线。如果用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一组等温线。温度场可以用一组等温面或等温线表示。,等温面与等温线的特征：,同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。,7,（3）温度梯度,在温度场中，温度沿x方向的变化率(即偏导数),很明显, 等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。
4、,温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：,n等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。,温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。,8,在直角坐标系中，温度梯度可表示为,分别为温度在x、y、z 方向的偏导数; i、j、k 分别为x、y、z 方向的单位矢量。,（4）热流密度,热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q 表示,热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。,9,在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为,qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。,2. 导热的基本定律,傅里叶（ Fourier）于1822年提出了著名的导热基本定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的
5、关系。,对于各向同性物体, 傅里叶定律表达式为,傅里叶定律表明, 导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。,10,标量形式的傅里叶定律表达式为,对于各向同性材料, 各方向上的热导率相等,由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道材料的热导率, 还必须知道温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。,11,傅里叶定律的适用条件：,（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关, 因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。,（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，
6、对于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程, 如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-1210-15s)激光瞬态加热等, 傅里叶定律不再适用。,12,3. 热导率（导热系数）,热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定律表达式,绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。,13,物质的热导率在数值上具有下述特点:,(1) 对于同一种物质, 固态的热导率值最大,气态的热导率值最小；,(2)一般金属的热导率大于非金属的热导率 ；,(3)导电性能好的金属, 其导热性能也好 ；,(4)纯金属的热导率大于它的合金 ；,(5)对于各向异性物体, 热导率的数值与方向有关 ；,(6)
7、对于同一种物质, 晶体的热导率要大于非定形态物体的热导率。,热导率数值的影响因素较多, 主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态, 此外温度、密度、湿度等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。,14,温度对热导率的影响：,一般地说, 所有物质的热导率都是温度的函数,不同物质的热导率随温度的变化规律不同。,纯金属的热导率随温度的升高而减小。,一般合金和非金属的热导率随温度的升高而增大。,大多数液体（水和甘油除外）的热导率随温度的升高而减小。,气体的热导率随温度的升高而增大。,15,在工业和日常生活中常见的温度范围内, 绝大多数材料的热导率可近似地认为随温度线性变化, 并表示
8、为,0为按上式计算的0下的热导率值，并非热导率的真实值,如图所示。 b为由实验确定的常数，其数值与物质的种类有关。,16,多孔材料的热导率,绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等), 不是均匀介质,统称多孔材料。,多孔材料的热导率是指它的表观热导率, 或称作折算热导率。,用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于350时热导率小于0.12 W/(mK)的材料称为保温材料。,保温材料（或称绝热材料）：,17,多孔材料的热导率随温度的升高而增大。,多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈大，热导率愈大。,典型材料热导率的数值范围
9、,纯金属 50415 W/(mK) 合金 12120 W/ /(mK) 非金属固体 140 W/ /(mK) 液体(非金属) 0.170.7 W/ /(mK) 绝热材料 0.030.12 W/ /(mK) 气体 0.0070.17 W/ /(mK),18,4. 导热问题的数学描述（数学模型）,（1）导热微分方程式的导出,导热微分方程式+单值性条件,建立数学模型的目的：求解温度场,依据：微元体的能量守恒和傅里叶定律。,假设：,1）物体由各向同性的连续介质组成；,2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3 。,1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的微元体作为研究
10、对象；,导热数学模型的组成：,步骤：,2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式；,3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。,19,导热过程中微元体的热平衡：,单位时间内，净导入微元体的热流量d与微元体内热源的生成热dV之和等于微元体热力学能的增加dU, 即,d + dV = dU,d = dx + dy + dz,dx = dx dx+dx,= qx dydz qx+dx dydz,20,同理可得从y和z方向净导入微元体的热流量分别为,于是, 在单位时间内净导入微元体的热流量为,单位时间内微元体内热源的生成热：,单位时间内微元热力学能的增加：,
11、根据微元体的热平衡表达式 d + dV = dU 可得,21,导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。,当热导率为常数时, 导热微分方程式可简化为,式中2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中,或写成,称为热扩散率, 也称导温系数, 单位为m2/s。,其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。,木材a =1.510-7 紫铜a = 5.3310-5,22,导热微分方程式的简化,(1) 物体无内热源：,(2) 稳态导热：,(3)稳态导热、无内热源：,2t = 0，即,23,圆柱坐标系下的导热微分方程式,如果为常数：,24,球坐标系下的导热微分方程式,为常数时,25,（
12、2）单值性条件 导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点, 适用于无穷多个导热过程, 也就是说有无穷多个解。 为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点, 即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。 导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热过程完整的数学描述。 单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。,26,1)几何条件,说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。,2)物理条件,说明导热物体的物理性质, 例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(、c、
13、a等)的数值及其特点等。,3)时间条件,说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：,27,4)边界条件,说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。,常见的边界条件分为以下三类:,(a) 第一类边界条件,给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：,(b) 第二类边界条件,给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：,28,(c) 第三类边界条件,给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h 。,用电热片加热
14、物体表面可实现第二类边界条件。,如果物体的某一表面是绝热的, 即qw = 0 , 则,物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。,根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得,第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。,29,上式描述的第三类边界条件是线性的, 所以也称为线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。,如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热, 则边界面的热平衡表达式为,qr 为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热流密度，它与物体边界和周围环境的温度和辐射特性有关, 是温度的复杂函数。这
15、种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件。,本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。,30,对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括,建立合理的数学模型, 是求解导热问题的第一步, 也是最重要的一步。,目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、 (2)数值解法、 (3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。,(1)导热微分方程式;,(2) 单值性条件。,对数学模型进行求解, 就可以得到物体的温度场, 进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。,本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。,31,9-2 稳态导热,稳态导热是指温度场
16、不随时间变化的导热过程.,下面分别讨论日常生活和工程上常见的平壁、圆筒壁、肋壁的一维稳态导热问题。,1. 平壁的稳态导热,当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。,假设：,表面面积为A、厚度为、为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1 tw2 。,（1）单层平壁的稳态导热,选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示。,32,数学模型：,x = 0 , t = tw1,x = , t = tw2,求解结果：,可见，当为常数时, 平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为,由傅里叶定律可得热流密度,通过整个平壁的热流量为,上式与绪论中给出的公式完全相同。,33,变热导率问题：,当平壁材料的热导率是温度的函数时,平壁一维稳态导热的数学模型为,当温度变化范围不大时, 可以近似地认为材料的热导率随温度作线性变化,即,可见, 当平壁材料的热导率随温度作线性变化时, 平壁内的温度分布为二次曲线。,求解数学模型可得平壁内的温度分布为,34,根据傅里叶定律表达式,（1）当tw1 t
