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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 2 4260MxxNx xx，则MN= A43xxB42 xxC22xxD23xx 2设复数z 满足=1iz
2、，z 在复平面内对应的点为(x， y)，则 A 22 +11()xyB 22 1(1)xyC 22 (1)1yxD 22 ( +1)1yx 3已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 AabcBacbCcabDbca 4 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （ 51 2 0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长 度为 26 cm，则其身高可能是 A165 cm B17
3、5 cm C185 cm D190 cm 5函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在, 的图像大致为 AB C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为 阳爻“ ”和阴爻“” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻 的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量a，b 满足| 2| |ab，且()abb，则 a 与 b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入 AA= 1 2A BA= 1 2
4、 A CA= 1 12A DA= 1 1 2A 9记 n S 为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa，则 A25 n anB310 n anC 2 28 n SnnD 21 2 2 n Snn 10已知椭圆C 的焦点为 12 1,01,0FF() ，()，过 F2的直线与C 交于 A，B 两点若 22 | 2|AFF B， 1 | |ABBF，则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x yB 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 11关于函数( )sin|sin|f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数f(x)在区间（ 2 ，）单调递增 f(
5、x)在, 有 4 个零点f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 ABCD 12已知三棱锥P- ABC 的四个顶点在球O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点， CEF=90，则球O 的体积为 A68B64C62D6 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13曲线 2 3()e x yxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列 an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前 期比赛
6、成绩，甲队的主客场安排依次为“ 主主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是_ 16已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线 分别交于A，B 两点若 1 F AAB， 12 0F B F B，则 C 的离心率为 _ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 (12 分 ) ABC的
7、内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若 22abc，求 sinC 18 （12 分） 如图， 直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA1=4，AB=2，BAD =60，E，M，N 分别是 BC， BB1 ， A 1D 的中点 （1）证明： MN平面 C1 DE； （2）求二面角A- MA1- N 的正弦值 19 （12 分） 已知抛物线C： y 2=3x 的焦点为 F，斜率为3 2 的直线 l 与 C 的交点为A，B，与 x 轴的交点为P （1）若 |AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若
8、3APPB，求 |AB| 20（ 12 分） 已知函数 ( )sinln(1)f xxx ， ( )fx 为 ( )f x 的导数证明： （1）( )fx在区间( 1, ) 2 存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有2 个零点 21（ 12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每
9、轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、 乙两种药的治愈率分别记为和 ，一轮试验中甲药的得分记为X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，(0,1,8) i p i表示 “ 甲药的累计得分为i时，最终认 为甲药比乙药更有效” 的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp(1,2,7)i，其中 (1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8 (i)证明：1 ii pp(0,1,
10、2,7)i为等比数列； (ii) 求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数）以坐标原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到l 距离的最小值 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 a，b，c
11、 为正数，且满足abc=1证明： （1） 222111 abc abc ； （2） 333 ()()()24abbcca 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ?参考答案 一、选择题 1C2C3B4B5 D6A7B8 A9A10B11C12D 二、填空题 13 y=3x14 121 3 150.18 16 2 三、解答题 17解：（1）由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A ，所以60A （2）由（ 1）知120BC，由题设及正弦定理得 2sinsin
12、 1202sinACC， 即 631 cossin2sin 222 CCC，可得 2 cos60 2 C 由于0120C ，所以 2 sin60 2 C，故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 18解：（ 1）连结 B1C，ME 因为 M，E分别为 BB1，BC的中点， 所以 MEB1C，且 ME= 1 2 B1 C 又因为 N为A1D的中点，所以 ND= 1 2 A1 D 由题设知 A1B1 DC，可得 B1CA1D，故 MEND， 因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN ED 又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE （2）由已知可得 DED
13、A 以D为坐标原点， DA的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz，则 (2,0,0)A， A1(2 ， 0 ， 4) ， (1, 3,2)M， (1,0,2)N， 1 (0,0, 4)A A， 1 ( 1, 3, 2)AM， 1 ( 1,0, 2)A N，(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面 A1MA的法向量，则 1 1 0 0 AM A A m m ， 所以 320 40 xyz z ， 可取 ( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面 A1MN的法向量，则 1 0 0 MN A N ， n n 所以 30 20 q pr ， 可取(2
14、,0, 1)n 于是 2 315 cos, |5 25 m n m n m n ， 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 19解：设直线 1122 3 :, 2 lyxt A x yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx，由题设可得12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40 xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以
15、12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB 20解：（1）设( )( )g xf x，则 1 ( )cos 1 g xx x ， 2 1 sin( ) ) (1 x x g x. 当1, 2 x 时，( )g x单调递减，而(0)0,( )0 2 gg，可得( )g x在1, 2 有唯一零点， 设为. 则当( 1, )x时，( )0g x；当, 2 x 时，( )0g x. 所以( )g x 在 ( 1, )单调递增，在, 2 单调递减，故( )g x 在1, 2 存在唯一极大值点， 即( )f x 在1, 2
16、存在唯一极大值点 . （2）( )f x 的定义域为 ( 1,). （i）当( 1 ,0 x时，由（1）知，( )f x 在 (1,0)单调递增， 而(0)0f ，所以当( 1,0)x 时，( )0f x，故( )f x 在 (1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x是( )f x 在( 1,0 的唯一 零点. （ii） 当0, 2 x 时，由 （1） 知，( )f x 在 (0, ) 单调递增，在, 2 单调递减，而(0)=0f ， 0 2 f ， 所以存在, 2 ， 使得()0f ， 且当(0,)x时，( )0f x； 当, 2 x 时，( )0f x.故( )f x 在 (0,) 单调递增，在, 2 单调递减 . 又(0)=0f，1ln 10 22 f ，所以当0, 2 x 时，( )0f x.从而，( )f x在 0, 2 没有零点 . （iii ）当
