概率论与数理统计 第三章课件

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1、,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,二维随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,1、二维随机变量,一、概念,定义1 设在试验E的样本空间S=e上定义了两个 随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随 机向量.,二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关, 也与X,Y间的内在联系有关.,因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y而来了解 二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作为一个整体来研究.,类似于一维随机变量,我们也可利用“分布函数”来研 究二维随机变量(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加 以分析.,请 你

2、注 意,定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数,为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X 与Y的联合分布函数,其中 为任意实数.,分布函数 在点 处的函数值就是事件 “随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率.,二、分布函数及其性质,定义域为全平面,分布函数具有下列基本性质:, 关于x、y均单调不减右连续., 对任意点 均有：, 分布函数与离散型二维随机变量分布律、连 续型二维随机变量概率密度的关系见后.,随机向量落在矩形区域的概率,三、离散型二维随机变量,1、概念,定义3 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为 有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维

3、离散型随机 变量.,2、分布律,设二维离散型随机变量(X,Y)可能取值为,则(X,Y)的分布律(概率分布)X与Y的联合分布律为,分布律满足:,分布律可用表格表示:,X,Y,概率的非负性,概率的规范性,【例1】P.71,将一枚硬币连抛三次,以X表示在“三次中出现正面的次数”,Y表示“三次中正、反面次数差的绝对值”,求X与Y的联合分布律.,解X取值0,1,2,3;Y取值1,3.基本事件总数为8.,X与Y的联合分布律为:,PX=0,Y=1=P()=0; PX=0,Y=3=1/8; TTT PX=1,Y=1=3/8; HTT,THT,TTH,PX=1,Y=3=P()=0; PX=2,Y=1=3/8;

4、HHT,HTH,THH PX=2,Y=3=P()=0;,PX=3,Y=1=P()=0; PX=3,Y=3=1/8. HHH,古典概率,例1-续,X与Y的联合分布律为：,二维离散型随机变量的分布列形象化解释,设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所 有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概 率值。,这样一来，随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。,请自学P.72:例2。,四、连续型二维随机变量,1、概念,定义4 设 为二维随机变量(X,Y)分布函数, 如果存在非负函数 使对任意实数 有,则称(X,Y )为二维连续型随机变量,其中 称为 随机变量(X,Y)的概

5、率密度,或称为随机变量X与Y的联 合概率密度.,2、概率密度及其性质,概率密度具有下列性质:, 设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y) 落在G内的概率为:,曲顶柱体体积,确定待定参数,概率密度性质, 若 在点 处连续,则有,由分布函数求概率密度,由概率密度求分布函数,【例2】(典型题）,设r.v.(X,Y)的概率密度为,解由概率密度性质得,(1)确定C的值;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求概率,(1) 因为,所以,故,例2-续1,(2)由概率密度求分布函数.,解题思路,画出联合概率密度的 非零区域;, 点(x,y)在全平面范围 内取值;, 综合上述两点得出就 (x,y)的分段情

6、形.,例2-续2,本例中分布函数应分为两段来计算:就x0,y0与 “其它”。,利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分,例2-续3,(3)求概率PYX.,只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G=(x,y)|yx 的交集D上积分.,由公式,得:,例2-续4,本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。,就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎 样计算各段值?(板书),二维均匀分布 设G为一个平面有界区域,其 面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密 度为,则称(X,Y)服从区域G上的均

7、匀分布,记为(X,Y)U(G).,1、二维均匀分布,两种常见的二维连续型分布,二维正态分布 设二维连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为,2、二维正态分布,其中 均为常数,称(X,Y) 为服从参数为 的二维正态分布,记为,2、边缘分布,一、边缘分布函数及其求法,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 ,X与Y 作为单个随机变量的分布函数分别为 ,称,分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数.,问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?,结论:联合分布(函数) 边缘分布(函数),但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布 (函数)可相互确定.3,设二维随机变量(X

8、,Y)的分布函数为 ,边缘分 布函数即X与Y的分布函数为 ，则有,因此，由联合分布函数可 求得边缘分布函数：,即可通过联合分布函数求极限 来确定边缘分布函数。,二、离散型二维随机变量的边缘分布律,设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为,则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关 系得：,又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：,比较可得X的分布律为：,同理可得Y的分布律为：,我们称,(X,Y)关于X的边缘分布律,(X,Y)关于Y的边缘分布律,显然,由联合分布律可求得各个边缘分布律,只需 采用“同一表格法”.,设r.v.X与Y的联合分布律为,解利用公式得边缘分布律,见上表“边缘”.,求

9、X,Y的边缘分布律.,【例3】,三、连续型二维随机变量的边缘概率密度,设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关系得：,又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得：,比较可得X为连续型随机变量,且X的概率密度为：,同理可得Y的概率密度为：,我们称,(X,Y)关于X的边缘概率密度,(X,Y)关于Y的边缘概率密度,显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度, 只需对某一个变量在(-,+)上积分,但必须注意另 一个变量应在全体实数范围内取值.,参量积分,【例4】(典型题）,设r.v.X与Y的联合概率密度为,解题思路,求X,Y的边缘概率密度.,画出联

10、合概率密度的 非零区域;, 参量x(y)在实数范围 内取值;, 综合上述两点就x(y) 分两种情形关于y(x)由-积分到+,只需在积分直线 与非零区域交线上进行.,类似可得:,解由公式得:,例4-续1,例4-续2,本例是求边缘概率密度的典型题，不同的题目只是非零区域形状和积分表达式的变化，必须熟练掌握.,二维正态分布的边缘分布,不难求得二维正态分布随机变量的边缘概率密 度为:,由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正 态分布,且与参数无关.,表明:由联合分布可以确定边缘分布,但由边缘 分布未必能确定联合分布.,3、相互独立的随机变量,则称随机变量X与Y是相互独立的.,定义1 设 分别为二维随

11、机 变量(X,Y)分布函数与边缘分布函数.如果对于任意 的实数 均有,一、概念,即,利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立性.,二、判定,由定义可以判定随机变量X与Y的独立性:,X与Y相互独立,特别的，对离散性和连续性随机变量，也可利 用其分布律与概率密度来判定独立性。,1、离散型随机变量,离散型随机变量(X,Y)的分布律、边缘分布律 分别为,则X与Y相互独立的充要条件是:对(X,Y)的所有可能 取得值 ,均有,设连续型随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率 密度分别为,则X与Y相互独立的充要条件是:在全平面上几乎处处 成立,2、连续型随机变量,总之，联合分布可确定边缘分布;但当X与Y相互

12、 独立时，边缘分布也可确定联合分布。,一般，要判定X与Y的独立性，可先求边缘分布, 再依据上述条件之一判定.,【例1】,设随机变量(X,Y)的概率密度为,(1)求(X,Y)的边缘概率密度; (2)判定X,Y的独立性.,解(1)求(X,Y)的边缘概率 密度,例1-续1,(2)判定独立性,因为,即X与Y不独立。,所以在联合概率密度非零区域内,例1-续2,【例2】(典型题）,设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均匀分 布,Y的概率密度为,(1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率.,解(1)求X与Y的联合概率密度,因为X,Y独立,且有,所以

13、,X与Y的联合概率密度为,例2-续1,(2)求方程有实根的概率,“方程有实根”即为,故所求概率为;,例2-续2, 均匀分布的概率密度；, 当两个随机变量相互独立时，可由边缘概率 密度确定联合概率密度；, 由联合概率密度求事件“二维随机变量取值落 在一个平面区域内” 概率的积分公式；, 二重积分的计算；, 利用标准正态概率密度函数计算有关概率积 分值；, 一元二次方程有实根的条件，等。,本题知识点回顾,不难看出：对于二维正态随机变量(X,Y),X与Y相 互独立的充要条件是参数=0.,参数称为X与Y的相关系数(ch4).,如果随机变量X与Y的相关系数=0,称X与Y是不 相关的.,但对二维正态随机变

14、量(X,Y),X与Y独立与不相 关是等价的.,续,由一、二维随机变量推广至n维随机变量.请看教 材,我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为,两个边缘概率密度为,二维正态分布与边缘分布,4、条件分布,一、离散型二维随机变量的条件分布律,定义1 设（X，Y）为离散型二维随机变量， 对于固定的j，当 时，称,为在 条件下X的条件分布律；,由条件概率可以自然地引入条件分布。,为在 条件下Y的条件分布律。,对于固定的i，当 时，称,设r.v.X与Y的联合分布律为,求在Y=1条件下X的条件分布律.,【例1】,解先求边缘分布律,见上表“边缘”.,再求条件分布律：,显然，条件分布律也满足分布律的性质

15、。,例1-续,定义2 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密 度为 ，边缘概率密度为 ，则当 时，称,为在条件 下X的条件概率密度；当 时，称,为在条件 下Y的条件概率密度,二、连续型二维随机变量的条件概率密度,【例2】,设r.v.X与Y的联合概率密度为,求条件概率密度 。,解先求边缘概率密度：,再先条件概率密度：当 时，,5、二维随机变量函数的分布,一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过， 下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分 布。,主要就连续型随机变量(X,Y)来根据具体情况应用 公式:,至于离散型随机变量情形可参照处理.,5、二维随机变量函数的分布,一维随机变量函数的分布在前

16、一章已经讨论过， 下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分 布。,主要就连续型随机变量(X,Y)来根据具体情况应用 公式:,至于离散型随机变量情形可参照处理.,由对称性得：,因此,由联合概率密度求和分布Z=X+Y的概率密 度公式为：,特别，当X与Y相互独立时,几乎处处有:,于是,上述公式变为卷积公式:,因此,一般可由X与Y的联合概率密度求和分布 Z=X+Y的概率密度;当X与Y独立时,可由边缘概率密 度的卷积公式求之., 参照D就z在(-,+)上进行分段;, 对上述各分段中取定的z值,就x从- 积分至 +,实际只需在非零区域D上一段积分.,卷积计算思路, 在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;,注意：上述也是一般参量积分的计算方法。,设随机变量X,Y相互独立,且均