材料力学(孙训方课件)

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1、,第三章 扭 转,材料力学,31 概述 32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 33 薄壁圆筒的扭转 34 等直圆杆在扭转时的应力 强度分析 35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件 超静定问题 36 等直圆杆在扭转时的应变能 37 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形 38 开口和闭合薄壁截面杆在自由扭转时的应力和变形 39 考虑材料塑性时圆杆的极限扭矩,第三章 扭 转 (Torsion),扭转,扭转,31 概 述,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。,扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆横截面绕轴线发生相对转动，这样的变形为 扭转

2、变形。,扭转,扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。 剪应变（）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。,扭转,工 程 实 例,扭转,32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩 功率为力偶在单位时间内作的功，即：,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）,1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS,所以传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：,3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内

3、力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩,扭转,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,x,T,5 内力方程法求扭矩：,截面上的扭矩T等于截面保留一侧所有扭转外力偶矩的代数和，外力偶矩正负号用右手螺旋法则确定：四个手指表示转向，大拇指代表方向，与保留侧端面外法线一致为正。,扭转,例3-2-1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,扭转,求扭矩（内力方程法）,11：,22：,33：,扭转,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,扭转,11:,22:,3

4、3:,1kNm,2kNm,2kNm,解：,提问:如果保留左侧怎么计算?,E D C B A,m4 m3 m2 m1,解：,扭转,你对了吗？如错了，请讨论一下错在哪儿?,解：,扭转,你对了吗？如错了，请讨论一下，错在哪儿?,练习2,解：,扭转,33 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,扭转,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,扭转,无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均

5、匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,扭转,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,扭转,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,扭转,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,扭转,T=m,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。,扭转,式中：G是材料的一个弹性常

6、数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,扭转,34 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,等直圆杆横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆轴线转动； 2. 轴向无伸缩；,一、等直圆杆扭转实验观察：,各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角

7、度 。,可假设：,圆周扭转时可视为 许多薄壁筒镶套而成。,可认为：,扭转,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,扭转,T,2. 物理关系：,虎克定律： 代入上式得：,扭转,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,扭转,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,扭转,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出

8、，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。,D,d,O,扭转,O,d,扭转, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,扭转, 确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。,例3-4-1 d=60mm,N=6KN,n=300转/分。求:11截上 a、b、c、d四点的剪应力。,解：,扭转,练习3判别下面截面上剪应力分布是否正确。,扭转,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开

9、。,因此还需要研究斜截面上的应力。,扭转,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),扭转,(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,扭转,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,扭转,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力

10、。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,扭转,例3-4-2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x,解:,扭转,42,扭转,扭转,解:,扭转,解:,扭转,扭转,35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件 超静定问题,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,扭转,二、单位扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,扭转,刚度计算的三

11、方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,扭转,例3-5-1长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,扭转,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转刚度条件校核刚度,扭转,40Nm,x,T,右端面转角为：,例3-5-2 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N

12、3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？-,扭转,解：图示状态下,由强度条件：,扭矩如图,扭转,由刚度条件,T,x,7.024 kNm,4.21kNm,得：,扭转,综上：,全轴选同一直径时,扭转, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,扭转,解:,扭转,解:,58,扭转,扭转,例3-5-5求薄壁圆筒扭转时的剪应力的精确解与近似解的误差。,解:,扭转,扭转,解:

13、,扭转,扭转,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,四、超静定问题,扭转,例3-5-7长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,扭转,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,扭转,36 等直圆杆在扭转时的应变能,一、 应变

14、能与能密度,单元体微功：,应变比能：,应变能：,扭转,二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算,1. 应力的计算,=,+,t,Q,t,T,Q,T,P,Q,T,扭转,2. 弹簧丝的强度条件:,其中：,称为弹簧指数。,称为曲度系数。,精确值:(修正公式，考虑弹簧曲率及 并非均匀分布的影响),扭转,3.位移的计算(能量法）,外力功：,变形能：,扭转,例3-6-1 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？,解：最大剪应力的近似值：,扭转,最大剪应力的精确值：,弹簧圈数：,（圈）,扭转,37 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,扭转,一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。,二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。,三、矩形杆横截面上的剪应力:,弹性力学研究结