《高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理 北师大版（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时平面向量的概念及线性运算1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念和向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念及表示方法名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或模)如a，零向量长度为零的向量；其方向不确定记作0单位向量与a同方向且长度为单位1的向量，叫作向量a方向上的单位向量，可记作a0.a0共线(平行)向量方向相同或相反的非零向量向量a与b平行或共线，记作ab相等向量长度相等、方向相同的向量如ab相反向量与向量a长度相等
2、、方向相反的向量，叫作a的相反向量记作a2.向量的线性运算3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.基础自测1设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()Aa0b0Ba0b01C|a0|b0|2 D|a0b0|2解析：因为a0，b0是单位向量，所以|a0|b0|1.答案：C2下列命题中正确的是()A. B.0C00 D.解析：；、是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即0；零向量与任意向量的数量积都为0，故选D.答案：D3判断下列四
3、个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：只有正确答案：A4(教材改编题)在平行四边形ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b表示)解析：ab，(ab)，b(ab)(ba)答案：(ba)5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.解析：由题意知：abk(2ab)，则有k，.答案：考点一平面向量的概念例1给出下列六个命题向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向
4、量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()A2B3C4D5审题视点理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可解析真命题；假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段答案C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足；(1)模相等；(2)
5、方向相同1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A1B2C3D4解析：错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时， ab0，此时，a与b可以是任意向量答案：C2给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，
6、则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析：正确，错误答案：考点二平面向量的线性运算例2(1) 如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()AabB.abCab D.ab(2)(2016烟台模拟)若O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2审题视点(1)用平行四边形法则求解(2)利用三角形性质及向量的运算法则求解解析(1)连接OC、OD、CD，由点C、D是半圆弧的三等分点，有AOCCODBOD60，且OAOCOD，则OAC与OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以ab.(2)
7、如图，2，又20，2.22，.答案(1)D(2)A1平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则2两个重要结论(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则()(2)向量加法的多边形法则An1An.1(2016衡水中学质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足|3 |0，G为BC的中点，则ABM与ABC的面积之比等于()A. B.C. D.解析：如图，G为BC的中点，则2 ，|3 |0，3 0，3 2 ，又SABGSABC，ABM与ABC的面积之比等于，故选C.答案：C2(2016大连高三检测)如图，在ABC中，
8、AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则_.解析：因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因为点M为AH的中点，所以()，又，所以，所以.答案：考点三共线向量定理及其应用例3已知a、b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由审题视点先假设存在，再利用a，b表示目标向量，最后判断是否有k成立即可解由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2
9、kt)b.因为a，b不共线，所以有解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且存在公共点时，才能得出三点共线1(2016四川资阳模拟)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线解析：2a6b2(a3b)2，A，B，D三点共线故选B.答案：B2(2015高考课标卷)设向量a，b不平行，向量ab
10、与a2b平行，则实数_.解析：依据共线向量定理列方程组求解. ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：以向量为背景的新定义问题典例设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割点A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解题指南本题为信息题，由(R)，(R)知：A1，A2，A3，A4四点共线，且不重合因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设c，d，
11、则2，然后逐项代入验证解析由(R)，(R)知：四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上，且不重合因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设c，d，则2，选项A中c，此时d不存在，故选项A不正确；同理选项B也不正确；选项C中，0c1,0d2，也不正确，故选D.答案D阅卷点评本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C在线段AB上，则当时，01，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用难度适中创新点评本题有以下创新点：(1)命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识迁移能力；(2)考查内容创新
12、：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力备考建议(1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题；(2)化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决；(3)“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办一条规律一般地，首尾顺次连接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合课时规范训练A级基础演练1(2016吉林省实验中学一模)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a2e1e2与be1e2共线，则()A2B2C D.解析：若a2e1e2与be1e2共线，则有2e1e2k(e1e2)ke1ke2，得解得，故选C.答案：C2(2016四川泸州检测)已知D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足，则|的值为()A1B.C. D2解析：因为，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线，因为D为边BC的中点，所以D为边PA的中点，的值为1，故选A.答案：A3(2016贵阳检测)已知向量a，b，c中任意两个都不共线
