《230编号高三数学一轮复习必备精品11：空间中的垂直关系备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部 欢迎下》由会员分享，可在线阅读，更多相关《230编号高三数学一轮复习必备精品11：空间中的垂直关系备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部 欢迎下（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第 11 讲 空间中的垂直关系第 11 讲 空间中的垂直关系 备注：【高三数学一轮复习必备精品备注：【高三数学一轮复习必备精品共 42 讲 共 42 讲 全部免费 欢迎下载】全部免费 欢迎下载】 一 【课标要求】一 【课标要求】 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空 间中线面垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： 两个平面垂直，则一个平面内垂直
2、于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二 【命题走向】二 【命题走向】 近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是 要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难 度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识 上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。 预测 2010 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答
3、题； （2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题 目将以客观题和解答题的第一步为主。 （3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点 三 【要点精讲】三 【要点精讲】 1线线垂直 判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。 三垂线定理的逆定理 ： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： , , POO PAAaAO aaAP 。 注意：三垂
4、线指 PA，PO，AO 都垂直 内的直线 a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和 性质定理 要考虑 a 的位置，并注意两定理交替使用。 2线面垂直 定义：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直 其中直线l叫做平面的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。 直线 l 与平面垂直记作：l。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 3面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成直二面角
5、的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 O a P O A 2 两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 它们的交线的直线垂直于另一个平面。 四 【典例解析】四 【典例解析】 题型 1：线线垂直问题 例1 如图1所示， 已知正方体ABCDA1B1C1D1中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N分别为A1D1， A1B1， BC， CD， DA， DE， CL 的中点，求证：EFGF。 证明：如图 2，作 GQB1C1于 Q，连接 FQ，则 GQ平面
6、 A1B1C1D1，且 Q 为 B1C1的中点。 在正方形 A1B1C1D1中， 由 E、 F、 Q 分别为 A1D1、 A1B1、 B1C1的中点可证明 EFFQ， 由三垂线定理得 EFGF。 点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、 论证思想。 例 2 （2006 全国，19）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，D、E 分别为 BB1、AC1的中点， 证明：ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线。 证明：设 O 为 AC 中点，连接 EO，BO，则 EOC1C，又 C1CB1B，所 1 2 以 EODB，EOBD 为平行四边形，EDOB。 ABB
7、C，BOAC， 又平面 ABC平面 ACC1A1，BO面 ABC，故 BO平面 ACC1A1， ED平面 ACC1A1，BDAC1，EDCC1， EDBB1，ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线 点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。 题型 2：线面垂直问题 例 3 （1） （2006 北京文，17）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD平面 ACC1A1。 （2） （2006 天津文，19）如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是 等边三角形，棱 1 2 EFBC。 （I）证明FO平面;CDE
8、； （II）设3,BCCD证明EO 平面。 证明：（1）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱， CC1平面 ADCD, BDCC1 ABCD 是正方形 BDAC 又AC，CC1平面 ACC1A1, A BC D E A1 B1 C1 O F A B C D A1B1 C1 D1 3 且 ACCC1=C, BD平面 ACC1A1。 （2）证明： （I）取 CD 中点 M，连结 OM。 在矩形 ABCD 中， 1 , 2 OMBC又 1 , 2 EFBC 则.EF OM连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形。 FOEM . 又FO 平面 CDE，且EM 平面 CDE， FO平面 CDE。 （
9、II）连结 FM。 由（I）和已知条件，在等边CDE中，,CMDMEMCD 且 31 . 22 EMCDBCEF 因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而EOFM。 ,CDOM CDEMCD平面EOM，从而 .CDEO 而,FMCDM所以EO 平面.CDF 点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力 和推理论证能力 例 4如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 2，D 是 A1B1 中点 （1）求证 C1D 平面 A1B ； （2）当点 F 在 BB1 上什 么位置时，会使得 AB1 平面 C1DF ？并证明你的结论。 分析 ： （1）由于 C
10、1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要证明 C1D 垂直交 线 A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得 C1D 平面 A1B。 （2）由（1）得 C1D AB1 ，只要过 D 作 AB1 的垂线，它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。 （1）证明：如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90。 又 D 是 A1B1 的中点， C1D A1B1 。 AA1 平面 A1B1C1 ，C1D 平面 A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面 AA1B1B。 （2）解：作 DE AB1 交 AB1 于 E ，延长 DE 交 BB1
11、 于 F ，连结 C1F ，则 AB1 平面 C1DF ，点 F 即为所求。 事实上， C1D 平面 AA1BB ，AB1 平面 AA1B1B ， C1D AB1 又 AB1 DF ，DF C1D D ， D C A B E O F M 4 AB1 平面 C1DF 。 点评：本题（1）的证明中，证得 C1D A1B1 后，由 ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 平面 AA1B1B ，立得 C1D 平面 AA1B1B。 （2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。 题型 3：面面垂直问题 例 5如图，ABC 为正三角形，EC 平面 ABC ，BD CE ，CE CA
12、2 BD ， M 是 EA 的中点，求证：（1） DE DA ；（2） 平面 BDM 平面 ECA ；（ 3） 平面 DEA 平面 ECA。 分析：（1）证明 DE DA ，可以通过图形分割，证明DEF DBA。（2）证 明面面垂直的关键在于寻 找平面内一直线垂直于另一平面。由（ 1）知 DM EA ， 取 AC 中点 N ， 连结 MN 、 NB ， 易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM 平面 ECA。 证明：（1）如图，取 EC 中点 F ，连结 DF。 EC 平面 ABC ，BD CE ，得 DB 平面 ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD 2 1 CE 2
13、 1 FC ，则四边形 FCBD 是矩形，DF EC。 又 BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以 DE DA。 （2）取 AC 中点 N ，连结 MN 、NB ， M 是 EA 的中点， MN 2 1 EC。 由 BD 2 1 EC ，且 BD 平面 ABC ，可得四边形 MNBD 是矩形，于是 DM MN。 DE DA ，M 是 EA 的中点， DM EA 又 EA MN M ， DM 平面 ECA ，而 DM 平面 BDM ，则平面 ECA 平面 BDM。 （3） DM 平面 ECA ，DM 平面 DEA ， 平面 DEA 平面 ECA。 点评：面面垂直的问题常常转化为线面
14、垂直、线线垂直的问 题解决。 例 6 （2009 江西卷理） （本小题满分 12 分） 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面 N O D M C B P A 5 ABCD，4PAAD，2AB . 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC 于点N. （1）求证：平面ABM平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离. 解： 方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AMMC。 又因为 P A平面 ABCD，则 PACD，又 CDAD， 所以 CD平面，则 CDAM，所以 A M平面 PCD， 所以平面 AB
15、M平面 PCD。 （2）由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点可得 2 2AM ， 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAM MC 设 D 到平面 ACM 的距离为h，由 D ACMMACD VV 即2 68h ， 可求得 2 6 3 h ， 设所求角为，则 6 sin 3 h CD ， 6 arcsin 3 。 （1）可求得 PC=6。因为 ANNC，由 PNPA PAPC ，得 PN 8 3 。所以:5:9NC PC 。 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 5 9 。 又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM
16、的距离相等，由（2）可知所求距离为 510 6 927 h 。 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P， (2,0,0)B， (2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M；设平面ACM的一 个法向量( , , )nx y z ，由,nAC nAM 可得： 240 220 xy yz ，令 1z ，则 (2, 1,1)n 。设所求角为，则 6 sin 3 CD n CD n ， 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 。 （3）由条件可得，ANNC.在Rt PAC中， 2 PAPN PC,所以 8 3 PN ,则 10 3 NCPCPN, y x z D M C B P A N O 6 5 9 NC PC ， 所 以 所 求 距 离 等 于 点P到 平 面CA M距 离 的 5 9 ， 设 点P到 平 面CA M距 离 为h则 2 6 3 AP
