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1、目 录目 录 一、函数与极限2 1、集合的概念2 2、常量与变量3 2、函数4 3、函数的简单性态4 4、反函数5 5、复合函数6 6、初等函数6 7、双曲函数及反双曲函数7 8、数列的极限8 9、函数的极限9 10、函数极限的运算规则11 一、函数与极限一、函数与极限 1、集合的概念1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能 构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母 A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母 a、b、c表示集
2、合中的元素。 如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a 属于 A，记作：aA，否则就说 a 不属于 A，记作：aA。 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N 、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作 N+或 N+。 、全体整数组成的集合叫做整数集。记作 Z。 、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作 Q。 、全体实数组成的集合叫做实数集。记作 R。 集合的表示方法集合的表示方法 、 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合 、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系集合间的基本关系 、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A
3、 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，我们就 说 A、B 有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B（或 B A）。 相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此时集合 A 中的元素与集合 B 中 的元素完全一样，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 AB。 、 真子集 ： 如何集合 A 是集合 B 的子集， 但存在一个元素属于 B 但不属于 A， 我们称集合 A 是集合 B 的真子集。 、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。 、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： 、任何一个集合是它本身的子集。
4、即 A A 、对于集合 A、B、C，如果 A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则 A 是 C 的子集。 、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算集合的基本运算 、 并集 ： 一般地， 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。 记作 AB。 （在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即 ABx|xA，或 xB。 、 交集 ： 一般地， 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。 记作 AB。 即 ABx|xA，且 xB。 、补集： 全集：一般地，如果一个集合
5、含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作 U。 补集 ： 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集。简称为集合 A 的补集，记作 CUA。 即 CUAx|xU，且 x A。 集合中元素的个数集合中元素的个数 、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如 Aa,b,c，则 card(A)=3。 、一般地，对任意两个集合 A、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB) 我的问题：我的问题：
6、 1、 学校里开运动会， 设 A x|x 是参加一百米跑的同学， B x|x 是参加二百米跑的同学， C x|x 是参加四百米跑的同学。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说 明这项规定，并解释以下集合运算的含义。、AB；、AB。 2、 在平面直角坐标系中， 集合 C(x,y)|y=x表示直线 yx， 从这个角度看， 集合 D=(x,y)|方程组 ： 2x- y=1,x+4y=5表示什么？集合 C、D 之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。 3、 已知集合 A=x|1x3， Bx|(x-1)(x-a)=0。 试判断 B 是不是 A 的子集？是否存
7、在实数 a 使 AB 成立？ 4、对于有限集合 A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？ 5、无限集合 A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能设计一种比较 这两个集合中元素个数多少的方法吗？ 2、常量与变量2、常量与变量 、变量的定义：、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不 起变化，我们把其称之为常量常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为 变量变量。注：注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我 们则把它看作常量。 、变量的
8、表示：、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间区间是 指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示 闭区间axba，b 开区间axb（a，b） 半开区间axb 或 axb（a，b或a，b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： a，+)：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：ax+； (-，b)：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：-xb； (-，+)：表示全体实数，也可记为：-x+ 注：注：其中-和+，分别读作负无穷大和正无穷大,它们不是数,仅仅是记号。 、 邻域 ：、 邻域
9、： 设 与 是两个实数， 且 0.满足不等式x- 的实数 x 的全体称为点 的 邻域，点 称为此邻域的中心， 称为此邻域的半径。 2、函数2、函数 、函数的定义：、函数的定义：如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量 y 按照一定的法则 f 总有确 定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数函数。变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域函数的定义域。通常 x 叫做自变量自变量，y 叫做函数值（或因变量）函数值（或因变量），变量 y 的变化范围叫做这个函数的值域函数的值域。注注：为了表明 y 是 x 的函数，我们用 记号 y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、F表示 y
10、 与 x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以 任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它 对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 、函数相等、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应 关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等函数相等。 、域函数的表示方法、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中， 半径为 r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
11、 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在 实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表 示因变量。例：直角坐标系中，半径为 r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态3、函数的简单性态 、函数的有界性、函数的有界性 ： 如果对属于某一区间I I的所有 x 值总有f(x)M 成立，其中 M 是一个与 x 无关 的常数，那么我们就称 f(x)在区间 I I 有界，否则便称无界。 注：注：一个函数，如果在其整个定义域内
12、有界，则称为有界函数 例题：例题：函数 cosx 在(-,+)内是有界的. 、函数的单调性、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着 x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点 x1 及 x2， 当 x1x2时， 有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加单调增加的。 如果函数 在区间(a,b)内随着 x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点 x1及 x2，当 x1x2时，有 ，则称函数在区间(a,b)内是单调减小单调减小的。 例题：例题：函数=x2在区间(-,0)上是单调减小的，在区间(0,+)上是单调增加的。 、函数的奇偶性、函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意 x 都满足
13、= =，则叫做偶函数；如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足=-=-，则叫做奇函数。 注：注：偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 、函数的周期性、函数的周期性 对于函数， 若存在一个不为零的数l l， 使得关系式对于定义域内任何 x 值都 成立，则叫做周期函数周期函数，l l是的周期。 注：注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题：例题：函数是以 2 为周期的周期函数；函数 tgx 是以 为周期的周期函数。 4、反函数4、反函数 、反函数的定义：、反函数的定义：设有函数，若变量 y 在函数的值域内任取一值 y0时，变量 x 在函数的 定义域内必有一值 x0与之对
14、应，即，那末变量 x 是变量 y 的函数.这个函数用来 表示，称为函数的反函数. 注：注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。 、反函数的存在定理、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R R，则它的反函数必然在 R R 上确定，且严格增(减). 注：注：严格增(减)即是单调增(减) 例题：例题：y=x2，其定义域为(-,+)，值域为0,+).对于 y 取定的非负值,可求得 x=.若我们 不加条件，由 y 的值就不能唯一确定 x 的值，也就是在区间(-,+)上，函数不是严格增(减)，故其没有 反函数。如果我们加上条件，要求 x0，则对 y0、x=就是 y=x2在要求 x0
15、时的反函数。即是：函 数在此要求下严格增(减). 、反函数的性质、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线 y=x 对称的。 例题：例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线 y=x 对称的。如右图所示： 5、复合函数5、复合函数 复合函数的定义复合函数的定义：若 y 是 u 的函数：，而 u 又是 x 的函数：，且的函数 值的全部或部分在的定义域内，那末，y 通过 u 的联系也是 x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中 u 叫做中间变量。 注：注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 例题：例
16、题：函数与函数是不能复合成一个函数的。 因为对于的定义域(-,+)中的任何 x 值所对应的 u 值（都大于或等于 2），使 都没有定义。 6、初等函数6、初等函数 、基本初等函数：、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三 角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下： 函 数 名 称 函数的记号函数的图形函数的性质 指 数 函 数 指 数 函 数 a):不论 x 为何值,y 总为正数; b):当 x=0 时,y=1. 对 数 函 数 对 数 函 数 a):其图形总位于 y 轴右侧,并过 (1,0)点 b):当a1时,在区间(0,1)的值为负 ； 在区间(-,+)的值为正；在定义域内 单调增. 幂 函 数 幂 函 数 a 为任意实数 这里只画出部分函数图形的一 部分。 令 a=m/n a):当 m 为偶数 n 为奇数时,y 是偶函 数; b):当 m,n 都是奇数时,y 是奇函数; c):当 m 奇 n 偶时,y 在(-,0)无意义. 三 角 函 数 三 角 函 数 (正弦函数
