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1、第二章,点、直线、平面之间的位置关系,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,21空间点、直线、平面之间的位置关系,自主预习学案,观察下图中的AOB与AOB.这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？,1异面直线 (1)概念：不同在_平面内的两条直线叫做异面直线 归纳总结对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线“异面”的含义就是“不能共面”的意思定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”,任何一个,(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个
2、或两个平面来衬托,2空间两条直线的位置关系 (1)相交直线同一平面内，_一个公共点 (2)平行直线同一平面内，_公共点 (3)异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点,有且只有,没有,3公理4,平行,ac,传递性,相等,互补,归纳总结等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补 初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一
3、个平面内，在空间中就成立，否则不成立,5两条异面直线所成的角(夹角) (1)定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa、bb，我们把a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 归纳总结在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a、b所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的,锐角,直角,(2)异面直线所成的角的范围：_ (3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是_，那么就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a、b，记作a_b 归
4、纳总结两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直,090,直角,解析如图所示，SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线,C,D,解析与的两边对应平行，与相等或互补，故为60或120,D,解析如图 借助正方体可知c与b相交或异面,3,解析四边形ABBA、ADDA均为长方形 AABB，AADD 又四边形BCCB为长方形 BBCC，AACC 故与AA平行的棱共有3条，它们分别是BB，CC，DD,互动探究学案,命题方向1空间两条直线位置关系的判定,典例 1,A,解析a与c可能相交，也可能异面； a与c可能相交，也可能平行； a与c可能异面，也可能平行； a与c可能不在
5、一个平面内 故均不正确,规律方法判断空间中两条直线位置关系的诀窍： (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特别关注异面直线 (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系,D,解析画出图形，得到结论 如图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系； 如图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是异面关系 综上可知，应选D,命题方向2平行线的传递性,典例 2,思路分析平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形,命题方向3等角定理的应用,典例 3,规律方法求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用
6、公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似,对异面直线所成的角概念不清致误,典例 4,错解连接AE，BE(如图所示) DEBC，BCCD，BCCD 四边形BCDE为正方形 ABBC，ABBC，异面直线AB与CD成60角,ABE60 ABE是正三角形 AEABBCDE 又DEAE ADE是等腰直角三角形 ADE45 异面直线AD与BC所成角的度数为45 错因分析对异面直线所成角的概念理解不准确，忽视了如图所示的情况，导致错误,警示异面直线所成的
7、角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角当由已知两条直线所成的角去推断两条相交直线所成的角时，依据等角定理两者可能相等或互补，所以我们应当考虑两种情况,求异面直线所成的角，关键是通过平移直线，将异面直线所成角的问题化归为一个解三角形求内角的问题，通过解三角形求得结果,转化与化归思想的应用,典例 5,思路分析1.PA、BC移至同一个三角形中 2找出PA和BC所成的角,规律方法求异面直线所成的角的一般步骤为： (1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线
8、(2)证明证明所作出的角等于要求的角 (3)计算转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角 (4)结论设由(3)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求,EGF(或EGF的补角)为AB与CD所成的角 即EGF30或150 ABCD，EGGF 故由等腰EGF知GFE75或15 而由FGAB知，GFE就是EF和AB所成的角 从而EF和AB所成的角为75或15,解析直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面,D,D,解析如图所示 E、F分别为BD、CD的中点 EFBC，又BCB1C1 EFB1C1，同理，EFA1D1，EFAD,B,解析由定义知正确；错误，否则A、B、C、D四点共面；不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；正确，由平行四边形的判定定理可证,课时作业学案,
