《【步步高】2014届高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和教案 理 新人教A版 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2014届高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和教案 理 新人教A版 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、16.3等比数列及其前 n 项和2014 高考会这样考 1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题复习备考要这样做 1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比 q1 的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法1 等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_ q_表示2 等比数列的通项公式设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an a1qn1 .3 等比中项若 G2 ab_(
2、ab0)，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项4 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广： an amqn m，( n， mN *)(2)若 an为等比数列，且 k l m n (k， l， m， nN *)，则 akal aman.(3)若 an， bn(项数相同)是等比数列，则 a n( 0)， ， a ， anbn，1an 2n仍是等比数列anbn5 等比数列的前 n 项和公式等比数列 an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时， Sn na1；当 q1 时， Sn .a1 1 qn1 q a1 anq1 q6 等比数列前 n 项和的性质公比不为1 的等比数列 an
3、的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为_ qn_.难点正本疑点清源1 等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数2 等比数列中的函数观点2利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小3 两个防范(1)由 an1 qan， q0 并不能立即断言 an为等比数列，还要验证 a10.(2)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形导致解题失误1 (2012辽宁)已知等比数列
4、an为递增数列，且 a a10，2( an an2 )5 an1 ，则数列25an的通项公式 an_.答案2 n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项a a100，根据已知条件得 2 5，解得 q2.25 (1q q)所以 a q8 a1q9，所以 a12，所以 an2 n.212 在等比数列 an中，各项均为正值，且 a6a10 a3a541， a4a85，则 a4 a8_.答案 51解析由 a6a10 a3a541 及 a6a10 a ， a3a5 a ，28 24得 a a 41.因为 a4a85，24 28所以( a4 a8)2 a 2 a4a8 a 412551.24 28又 a
5、n0，所以 a4 a8 .513 已知 a， b， c 成等比数列，如果 a， x， b 和 b， y， c 都成等差数列，则 _.ax cy答案2解析令 a1， b3， c9，则由题意，有 x2， y6.此时 2.ax cy 12 964 (2011广东)已知 an是递增等比数列， a22， a4 a34，则此数列的公比q_.答案2解析由 a22， a4 a34，得方程组Error!q2 q20，解得 q2 或 q1.又 an是递增等比数列，故 q2.5 (2012课标全国)已知 an为等比数列， a4 a72， a5a68，则 a1 a10等于()A7 B5 C5 D73答案D解析方法一由
6、题意得Error!Error! 或Error! a1 a10 a1(1 q9)7.方法二由Error!解得Error!或Error!Error! 或Error! a1 a10 a1(1 q9)7.题型一等比数列的基本量的计算例 1等比数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S1， S3， S2成等差数列(1)求 an的公比 q；(2)若 a1 a33，求 Sn.思维启迪：(1)由 S1， S3， S2成等差数列，列方程求出 q.(2)由 a1 a33 求出 a1，再由通项和公式求出 Sn.解(1)依题意有 a1( a1 a1q)2( a1 a1q a1q2)由于 a10，故 2q2 q0.又
7、q0，从而 q .12(2)由已知可得 a1 a1 23.故 a14.(12)从而 Sn .41 ( 12)n1 ( 12) 831 ( 12)n探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1， n， q， an， Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)可迎刃而解等比数列 an满足： a1 a611， a3a4 ，且公比 q(0,1)329(1)求数列 an的通项公式；(2)若该数列前 n 项和 Sn21，求 n 的值解(1) a3a4 a1a6 ，又 a1 a611，329故 a1， a6可看作方程 x211 x 0 的两根，329又 q(0,1)， a1
8、 ， a6 ，323 134 q5 ， q ，a6a1 132 12 an n1 n6 .323 (12) 13 (12)(2)由(1)知 Sn 21，解得 n6.643(1 12n)题型二等比数列的性质及应用例 2在等比数列 an中，(1)若已知 a24， a5 ，求 an；12(2)若已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值思维启迪：注意巧用性质，减少计算如：对于等比数列 an，若 m n p q (m、 n、 p、 qN *)，则 aman apaq；若 m n2 p(m， n， pN *)，则 aman a .2p解(1)设公比为 q，则 q3，即 q3 ，a5a2 18 q
9、 ， an a5qn5 n4 .12 ( 12)(2) a3a4a58，又 a3a5 a ， a 8， a42.24 34 a2a3a4a5a6 a 2 532.54探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m n p q，则 aman apaq”，可以减少运算量，提高解题速度(1)已知各项均为正数的等比数列 an中， a1a2a35， a7a8a910，则 a4a5a6等于 ()A5 B7 C6 D42 2(2)已知 Sn为等比数列 an的前 n 项和，且 S38， S67，则a4 a5 a9_.答案(1)A(2)78解析(1)把 a1a2a3， a4
10、a5a6， a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第 1 项，第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项因为数列 an的各项均为正数，所以 a4a5a6 5 . a1a2a3 a7a8a9 510 2(2)根据等比数列的性质，知 S3， S6 S3， S9 S6成等比数列，即 8,78， S97 成等比数列，所以(1) 28( S97)解得 S97 .所以 a4 a5 a9 S9 S37 8 .18 18 78题型三等比数列的判定例 3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn中， b1 a1， bn an an1 (n2)，且
11、an Sn n.5(1)设 cn an1，求证： cn是等比数列；(2)求数列 bn的通项公式思维启迪：(1)由 an Sn n 及 an1 Sn1 n1 转化成 an与 an1 的递推关系，再构造数列 an1(2)由 cn求 an再求 bn.(1)证明 an Sn n， an1 Sn1 n1.得 an1 an an1 1，2 an1 an1，2( an1 1) an1， ， an1是等比数列an 1 1an 1 12又 a1 a11， a1 ，12首项 c1 a11， c1 ，公比 q .12 12又 cn an1， cn是以 为首项， 为公比的等比数列12 12(2)解由(1)可知 cn
12、n1 n，(12) (12) (12) an cn11 n.(12)当 n2 时， bn an an1 1 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1 a1 代入上式也符合， bn n.12 (12)探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证 n1 时是否符合 n2 时的通项公式，能合并的必须合并已知数列 an的前 n 项和 Sn2 an1，求证： an是等比数列，并求出通项公式证明 Sn2 an1， Sn1 2 an1 1. an1 Sn1 Sn(2 an1 1)(2 an1)2 an1 2 an. an1 2 an，又 S1
13、2 a11 a1， a110.又由 an1 2 an知 an0，6 2. an是以1 为首项，2 为公比的等比数列an 1an an12 n1 2 n1 .等差与等比数列综合性问题的求解典例：(12 分)(2011湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上2、5、13 后成为等比数列 bn中的 b3、 b4、 b5.(1)求数列 bn的通项公式；(2)数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列 是等比数列Sn54审题视角设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差 d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问规范解答(1)解设成等差数列的三个正
14、数分别为 a d， a， a d，依题意，得 a d a a d15，解得 a5.2 分所以 bn中的 b3， b4， b5依次为 7 d,10,18 d.依题意，有(7 d)(18 d)100，解得 d2 或 d13(舍去)4 分故 bn的第 3 项为 5，公比为 2.由 b3 b122，即 5 b122，解得 b1 .54所以 bn是以 为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn 2n1 52 n3 .654 54分(2)证明数列 bn的前 n 项和 Sn 52 n2 ，即 Sn 52 n2 .8 分54 1 2n1 2 54 54所以 S1 ， 2.54 52Sn 1 54Sn 54 52n 152n 2
