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1、15.1平面向量的概念及线性运算2014 高考会这样考 1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向量共线的应用复习备考要这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系1 向量的有关概念名称 定义 备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作 0单位向量 长度等于 1 个单位的向量非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量 长度相等且方
2、向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 022. 向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律：a b b a.(2)结合律：(a b) c a( b c).减法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a与 b 的差 三角形法则a b a( b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a0 ( a) a；( )a a a； (a b) a b3. 共线向量
3、定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b a.难点正本疑点清源1 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量2 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量3 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合1 若 a“向东走 8 km”， b“向北走 8 km”，则| a b|_； a b 的方向是_答案8 东
4、北方向2解析根据向量加法的几何意义，| a b|表示以 8 km 为边长的正方形的对角线长，| a b|8 ， a b 的方向是东北方向232. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 边的中点，且 a， b，则AB AD BE _.答案 b a12解析 a b a b a.BE BA AD 12DC 12 123 已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足 0， ，则实数 的PA BP CP AP PD 值为_答案2解析如图所示，由 ，且 0，则 P 是以 AB、 AC 为AP PD PA BP CP 邻边的平行四边形的第四个顶点，因此 2 ，则 2.AP PD 4
5、 已知 O 是 ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边的中点，且 2 0，那么()OA OB OC A. B. 2AO OD AO OD C. 3 D2 AO OD AO OD 答案A解析由 2 0 可知， O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点，故 .OA OB OC AO OD 5 (2012四川)设 a、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是()a|a| b|b|A a b B a bC a2 b D a b 且| a| b|答案C解析 表示与 a 同向的单位向量， 表示与 b 同向的单位向量，只要 a 与 b 同向，a|a| b|b|就有 ，观察选项易知 C 满
6、足题意a|a| b|b|题型一平面向量的概念辨析例 1给出下列命题：若| a| b|，则 a b；若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCDAB DC 为平行四边形的充要条件；若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是| a| b|4且 a b.其中正确命题的序号是_答案解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 ，| | |且 ，AB DC AB DC AB DC 又 A， B， C， D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平行四边形，则 且| | |，因此， .AB DC AB DC AB DC 正确
7、 a b， a， b 的长度相等且方向相同；又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c.不正确当 a b 且方向相反时，即使| a| b|，也不能得到 a b，故“| a| b|且a b”不是“ a b”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的
8、单位向量a|a| a|a|下列命题中正确的是 ()A a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即
9、a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C.题型二向量的线性运算5例 2如图，以向量 a， b 为邻边作 OADB， ， OA OB BM 13BC CN ，用 a， b 表示 ， ， .13CD OM ON MN 思维启迪：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键解 a b， a b，BA OA OB BM 16BA 16 16 a b.OM OB BM 16 56又 a b，OD ON OC 13CD 12OD 16OD a b，2
10、3OD 23 23 a b a b a b.MN ON OM 23 23 16 56 12 16综上， a b， a b， a b.OM 16 56 ON 23 23 MN 12 16探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果在 ABC 中， c， b，若点 D 满足 2 ，则 等于()AB AC BD DC AD A. b c B. c b23 13 53 23C. b c D. b c2
11、3 13 13 23答案A解析 2 ， 2( )，BD DC AD AB AC AD 3 2 ，AD AC AB b c.AD 23AC 13AB 23 13题型三共线向量定理及应用例 3设两个非零向量 a 与 b 不共线，6(1)若 a b， 2 a8 b， 3( a b)，求证： A、 B、 D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线思维启迪：解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行(1)证明 a b， 2 a8 b， 3( a b)，AB BC CD 2 a8 b3( a b)BD BC CD 2 a8 b3 a3 b5( a b)5
12、 .AB 、 共线，又它们有公共点 B，AB BD A、 B、 D 三点共线(2)解 ka b 与 a kb 共线，存在实数 ，使 ka b (a kb)，即 ka b a k b.( k )a( k 1) b. a、 b 是不共线的两个非零向量， k k 10， k210. k1.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a、 b 共线是指存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b0 成立，若 1a 2b0，当且仅当 1 20 时成立，则向量 a、 b 不共线设 D、 E、 F 分别是 A
13、BC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且2 ， 2 ， 2 ，则 与DC BD CE EA AF FB AD BE CF BC ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直答案A解析由题意，得 ， .DC DA AC BD BA AD 又 2 ，所以 2( )DC BD DA AC BA AD 所以 .AD 13AC 23AB 同理，得 ， .BE 13BC 23BA CF 13CA 23CB 将以上三式相加，得 .故选 A.AD BE CF 13BC 7方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(14 分)如图所示，在 ABO 中， ， ， AD 与OC 14OA OD 12OB BC 相交于点 M，设 a， b.试用 a 和 b 表示向量 .OA OB OM 审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然 能用 a、 b 表示，那我们不妨设出 ma nb.OM OM (3)利用向量共线建立方程，用方
