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1、 1 实数和代数式实数和代数式 一、重点、难点提示：一、重点、难点提示： 1.相反数 实数 a 的相反数是-a，零的相反数是零。 （1）a,b 互为相反数a+b=0。 （2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。 2.绝对值 |a|= 3. 算术根 （1）正数 a 的正的 n 次方根叫 a 的 n 次算术根，零的算术根仍是 0。 （2）实数的三个非负性：|a|0, a20, 0(a0)。 4.科学记数法 把一大于 10 的数记成 a 10n的形式，其中 1an) 6.乘法公式： (a+b)(a-b)=a2-b2； (a b)2=a2 2ab+b2； 7.零指数和负整数指数： 规定 a0=1(a
2、0) ，a-p=(a0 且 p 为正整数) 8.二次根式的主要性质 (1)()2=a (a0). (2)=|a|= 注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成 这种转化，不易出错。 (3)=(a0, b0)。 (4)(b0,a0)。 二、重点例题分析二、重点例题分析 例 1解答下列各题 （1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求 a+b 的值。 （2）已知 a0, b|a|, 试用“”将 a、b、-a、-b 连结起来。 解：（1）|a|=8, a= 8； |b|=2, b= 2； 又|a-b|=b-a, b-a0, ba。 3 因此 b 取+
3、2, a 取-8, 或 b 取-2, a 取-8。 当 b=2, a=-8 时, a+b=(-8)+2=-6。 当 b=-2, a=-8 时, a+b=(-8)+(-2)=-10。 （2）b-aa0，A 在原点右边，b|a|表示 B 到原点的距离大于 A 到原点的距离， 再依相反数的概念找出-a,-b 所对应的点， 如图所示， 显然有：b-aa0, b|a|的条件， 那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。 从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即 b-aa0, a0。 原式=-a+a-a=-a。 说明：这道题隐含着条件 a0 是解此题的关键，而 a0 时，方程有两个不相等的实数根 x
4、1=,x2=； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=-；当 0 时，方程没有实数根。 8 4.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为 x1,x2,则 x1+x2=-, x1x2=。 （注意两根 的和是的相反数）。以 x1,x2为根的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0。 5. 不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式 两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。 6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表： 不等式组 (a2x，得 x-2 解不等式x-, 得 x-1。
5、所以不等式组的解集是 -24x+2, 得 x1。 解不等式 ， 得 x-2。 所以不等式组的解集是：-2x1。 所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。 例 3.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0 是关于 x 的一元二次方程。求 m 的值，并求此 方程的两根。 分析：根据一元二次方程的定义，未知数 x 的最高次数是 2，而且二次项的系数不能为 0， 所以 m2-2=2，且 m-20。于是可求 m 的值,进而求得方程的解。 解：（1）依题意，得 m2-2=2,且 m-20。 m= 2, 且 m2。 m=-2。 （2）把 m=-2 代入原方程，整理得(x-5)2=1 x-5= 1, x1=4
6、, x2=6。 例 4.已知 x 是实数，且-(x2+3x)=2，那么 x2+3x 的值为（ ） A、1 B、-3 或 1 C、3 D、-1 或 3 误解：设 x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即 y2+2y-3=0。 10 y1=-3, y2=1。 x2+3x=-3 或 1。故选 B。 剖析：因为 x 为实数，所以要求 x2+3x=-3 和 x2+3x=1 有实数解。 当 x2+3x=-3 时，即是 x2+3x+3=0，此时 =32-4 1 30，方程有实数解，即 x 是 实数，符合题设，故 x2+3x=1。 正确答案：选 A。 说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，
7、解题时，若忽视“实数”这个题设 条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。 例 5.解下列方程： （1）=1， （2）x2+x-+1=0。 分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设 x2+x=y，将原方程变为 y-+1=0，先 求出 y，再求出 x。 解（1）原方程即为+-=1 去分母，得 x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。 整理，得 x2-3x+2=0。 x1=1, x2=2。 经检验 x=1 是原方程的根，x=2 是增根， 原方程的根是 x=1。 （2）设 x2+x=y,则原方程可变为 y-+1=0。 y2+y-6=0, y1=-3, y2=2 11 当 y=-
8、3 时，x2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程无实数根， 当 y=2 时，x2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2, x2=1。 经检验,x1=-2, x2=1 都是原方程的根。 原方程的根是 x1=-2, x2=1。 例 6.若方程组的解 x 与 y 相等，则 a 的值等于（ ）。 A、4 B、10 C、11 D、12 分析：先解方程组 再将求得的解代入方程 ax+(a-1)y=3 中，便可求得 a 的值。 解：解方程组，得 把代入 ax+(a-1)y=3, 得 a +(a-1) =3，解之，得 a=11。 故选 C。 例 7.已知关于 x 的方程(k-2)x2-2(k-1)x+
9、(k+1)=0，且 k3。 (1)求证：此方程总有实数根；(2) 当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于 4 时，k 的值等于多少？ 分析： 本题没有指明关于 x 的方程的类型， 要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。 (1)证明 当 k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根； 当 k2 时，方程为一元二次方程，且 =-2(k-1)2-4(k-2)(k+1)=4(3-k), 12 k3, 3-k0。 即 0，此时一元二次方程有实数根。 综合、知，原方程总有实数根。 (2)设方程的两实根为 x1,x2，则 x1+x2=，x1x2=。 由题设，x12+x22=4, 即(x1+x
10、2)2-2x1x2=4。 2-2=4。 整理，得 k2-5k+4=0, k1=1, k2=4。 k3, k=1。 例 8.商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B 型节能冰箱每台售价 虽比 A 型冰箱高出 10%，但每日耗电费却为 0.55 度。现将 A 型冰箱打折出售（打一折后的售价 为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为 10 年，每年 365 天，每 度电 0.40 元计算）？ 说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式 的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系
11、；不同的 就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。 本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合 算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是 A 型冰箱十年的总耗资小于 B 型冰箱。得到 不等关系。 解:设商场将 A 型冰箱打 x 折出售，则消费者购买 A 型冰箱需耗资 2190+365 10 1 0.4(元)， 购买 B 型冰箱需耗资 2190(1+10%)+365 10 0.55 0.4(元)。 13 依题意，得 2190+3651010.42190(1+10%)+365100.550.4。 解不等式，得 x8。 因此，商场应将
12、A 型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。 例 9.某园林的门票每张 10 元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客， 该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日 起，可供持票者使用一年）。年票分 A、B、C、三类：A 类年票每张 120 元，持票者进入园林 时，无需再用门票；B 类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C 类年票每张 40 元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次 3 元。 （1） 如果你只选择一种购买门票的方式， 并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上， 试通过计算，找出
13、可使进入该园林的次数最多的购票方式。 （2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 类年票比较合算。 析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。 （1）因为 8030。 所以，一年中进入该园林至少超过 30 次时，购买 A 类年票比较合算。 例 10.某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元；乙、丙两队合作 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的，厂家需付 甲、丙两队共 5500 元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要 求不超过 15 天完成全
14、部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 分析：本例属工作量为 1 的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率 工作时间 =1；（2）工作效率=；（3）工作时间=。这类问题的等量关系是：部分工 作量之和=1。 解：（1）设甲队单独做 x 天完成，乙队单独做 y 天完成，丙队单独做 z 天完成，则 解之，得 （2）设甲队做一天应付给 a 元，乙队做一天应付 b 元，丙队做一天应付给 c 元， 则有 解方程组，得 10a=8000(元),15b=9750(元) 由甲队单独完成此工程花钱最少。 答：（1）甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成，丙队单独做 30 天完
15、成；（2）由 甲队单独完成此项工程花钱最少。 15 三角形与相似三角形与相似形形 一、新课标对这部分知识的要求一、新课标对这部分知识的要求 1 命题与证明命题与证明 （1）了解证明的含义 理解证明的必要性。 通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。 结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不 一定成立。 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。 通过实例， 体会反证法的含义。 掌握用综合法证明的格式， 体会证明的过程要步步有据。 （2）掌握以下基本事实，作为证明的依据 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。 若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边， 或三边)分别相等， 则这两个三角形全等。 全等三角形的对应边、对应角分别相等。 （3）利用（2）中的基本事实证明下列命题 平行线的性质定理（内错角
