《1398编号小学六年级奥数系列讲座：构造与论证(含答案解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1398编号小学六年级奥数系列讲座：构造与论证(含答案解析)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 构造与论证构造与论证 1 内容概述内容概述 各种探讨给定要求能否实现， 设计最佳安排和选择方案的组合问题 这里的最佳通常指 某个量达到最大或最小解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性 进行论证论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计 典型问题典型问题 2.2.有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作 ： 从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的 某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有 1989 块石子，第 二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子问能否做到： (1)某 2 堆石子全部取光? (2)3 堆中的所有石子都被取走? 【分
2、析与解】【分析与解】 (1)可以，如(1989，989，89) (1900，900，0)(950，900，950) (50，0，50)(25，25，50)(O，0，25) (2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至 另一堆，所以每次操作石子总数要么减少 3 的倍数，要么不变 现在共有 1989+989+89=3067，不是 3 的倍数，所以不能将 3 堆中所有石子都取走 4 4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有 3 名专业选手与 3 名业余选手参加.比赛采用单循 环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场为公平起见，用以下方法记分 ： 开赛前每位 选手各有 10
3、 分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加 2 分，每 胜业余选手一场加 1 分；专业选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一场扣 1 分问：一位业 余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【分析与解】【分析与解】 当一位业余选手胜2场时， 如果只胜了另两位业余选手， 那么他得10+2- 3=9(分)此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜， 那么每位专业选手的得分都是 10+2-2+3=13(分)所以，一位业余选手胜 2 场，不能确保他 的得分比某位专业选手高 当一位业余选手胜 3 场时， 得分最少时是胜两位业余选手， 胜一位专业
4、选手， 得 10+2+2- 2=12(分)此时，三位专业选手最多共得 30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共 得 0 分，专业选手与业余选手的比赛最多共得 4 分.由三个人得 34 分，343=11，推知， 1 3 必有人得分不超过 11 分. 也就是说，一位业余选手胜 3 场，能确保他的得分比某位专业选手高. 6 6.如图 35-1，将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数分别填入图中的 10 个圆圈内， 使任意连续相邻的 5 个圆圈内的各数之和均不大于某个整数 M.求 M 的最小值并完成你的填 图. 【分析与解】【分析与解】 要使 M 最小， 就要尽量平
5、均的填写， 因为如果有的连续 5 个圆圈内的数特别 小，有的特别大，那么 M 就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的 因 为 每 个 圆 圈 内 的 数 都 用 了 5 次 ， 所 以 10 次 的 和 为 5(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋，所以 IOM 大于等于 275，整数 M 大于 28 下面来验证 M=28 时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是 55， 所以肯定是一边五个的和是 28， 一边是 27 因为数字都不一样， 所以和 28 肯定是相间排列， 和 27 也是相问排列， 也就是说数组每隔 4 个差值为 l， 这样从 1 填起， 容易排出适当的填图. 8
6、.8.1998 名运动员的号码依次为 1 至 1998 的自然数 现在要从中选出若干名运动员参加仪仗 队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积那么，选为仪仗队 的运动员最少有多少人? 【分析与解】【分析与解】 我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉， 因为它们参与的乘式比较多， 把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式， 比较小的数肯定是用得最多的， 因为它们的倍数最 多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处? 考虑到 44 的平方为 1936，所以去到 44 就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘 式中最小的数一定小于等于 44，所以可以保证剩下的构不成乘式因为对结果没有
7、影响， 所以可以将 1 保留，于是去掉 2，3，4，44 这 43 个数 但是，是不是去掉 43 个数为最小的方法呢?构造 297，396，495，4445， 发现这 43 组数全不相同而且结果都比 1998 小， 所以要去掉这些乘式就至少要去掉 43 个数， 所以 43 位最小值，即为所求. 10.10.在 1019 方格表的每个方格内，写上 0 或 1，然后算出每行及每列的各数之和问最多 能得到多少个不同的和数? 【分析与解】【分析与解】首先每列的和最少为 0，最多是 10，每行的和最少是 0，最多是 19，所以 不同的和最多也就是 0，1，2，3，4，18，19 这 20 个 下面我们说
8、明如果 0 出现，那么必然有另外一个数字不能出现 如果 0 出现在行的和中，说明有 1 行全是 0，意味着列的和中至多出现 0 到 9，加上行 的和至多出现 10 个数字，所以少了一种可能 如果 0 出现在列的和中，说明在行的和中 19 不可能出现，所以 0 出现就意味着另一个数字 不能出现，所以至多是 19，下面给出一种排出方法. 1212在 10001000 的方格表中任意选取 n 个方格染为红色，都存在 3 个红色方格，它们的 中心构成一个直角三角形的顶点求 n 的最小值 【分析与解】 【分析与解】 首先确定 1998 不行反例如下： 其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个
9、红点分布在 1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点， 因为含有0或1 个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于 1999- 999=1000， 如果是大于1000， 那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红 点在一列，那么就会出现红色三角形； 如果是等于 1000 而没有这样的 2 个红点在一列，说明有 999 行只含有 1 个红点，而剩 下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以 n 的最小值为 1999 1414在图 35-2 中有 16 个黑点，它们排成了一个 44 的方阵用线段连接其中 4 点，就可 以画出各种不同的正方形现在要去掉某些点，使得其中任意 4
10、点都不能连成正方形，那么 最少要去掉多少个点? 【分析与解】【分析与解】 至少要除去 6 个点，如下所示为几种方法： 构造与论证构造与论证 2 内容概述内容概述 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把 握若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的 点或线着手进行分析各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有 相间染色与条形染色 典型问题典型问题 2甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛各班同学都按 l，2，3，4， 依次编号当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒在甲、乙两班比赛时， 有
11、15 台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有 9 台是男、女生对垒试说明在甲、丙班 比赛时，男、女生对垒的台数不会超过 24并指出在什么情况下，正好是 24 ？ 【分析与解】 不妨设甲、乙比赛时，115 号是男女对垒，乙、丙比赛时在 115 号中有 a 台男女对垒，15 号之后有 9-a 台男女对垒(0a9) 甲、丙比赛时，前 15 号，男女对垒的台数是 15-a(如果 1 号乙与 1 号丙是男女对垒， 那么 1 号甲与 1 号丙就不是男女对垒)，15 号之后，有 9-a 台男女对垒.所以甲、丙比赛时， 男女对垒的台数为 15-a+9-a=24-2a24 仅在 a=0，即必须乙、丙比赛时男、女
12、对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码 完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于 24 4将 1515 的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色证明：至少可以找到两行， 这两行中某一种颜色的格数相同 【分析与解】 如果找不到两行的某种颜色数一样， 那么就是说所有颜色的列与列之问 的数目不同那么红色最少也会占： 0+1+2+14=105 个格子 同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少： 3(0+l+2+14)=315 个格子 但是，现在只有 1515=225 个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证 6. 4 个人聚会，每人各带 2 件礼品，分赠给其余 3 个人中的 2 人试证明：
13、至少有 2 对人， 每对人是互赠过礼品的 【分析与解】 将这四个人用 4 个点表示， 如果两个人之间送过礼， 就在两点之间连一条线 由于每人送出 2 件礼物，图中共有 42=8 条线，由于每人礼品都分赠给 2 个人，所以每 两点之间至多有 1+1=2 条线 四点间，每两点连一条线，一共 6 条线，现在有 8 条线，说明必有两点之间连了 2 条线，还 有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了 2 条线 即为所证结论。 8若干台计算机联网，要求： 任意两台之间最多用一条电缆连接； 任意三台之间最多用两条电缆连接； 两台计算机之间如果没有电缆连接， 则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆 若
14、 按此要求最少要用 79 条电缆 问：(1)这些计算机的数量是多少台? (2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆? 【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点 出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件表明图是连 通图 我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈(如果有圈，就在圈上 去掉一条线)， 从一点出发， 不能再继续前进， 将这一点与连结这点的线去掉 考虑剩下的 n- 1 个点的图，它仍然是连通的用同样的办法又可去掉一点及一条线这样继续下去，最后 只剩下一个点因此 n 个点的连通图至少有 n-1 条线(如果有
15、圈，线的条数就会增加)，并且 从一点 A 向其他 n-1 个点各连一条线，这样的图恰好有 n-1 条线 因此，(1)的答案是 n=79+1=80，并且将一台计算机与其他 79 台各用一条线相连，就得 到符合要求的联网 下面看看最多连多少条线 在这 80 个点(80 台计算机)中， 设从引出的线最多， 有 k 条， 与相连的点是, 1 A 1 A 1 B 2 B ，由于条件，,，之间没有线相连 k B 1 B 2 B k B 设与不相连的点是， 则 m+k=80， 而，,每一点至多引出 k 1 A 2 A 3 A m A 2 A 3 A m A 条线，图中至多有 mk 条线，因为 40 B 2
16、4()m kmk 2 ()6400mk 所以 mk1600，即连线不超过 1600 条 另一方面，设 80 个点分为两组：,，；，第一组的每一点与 1 A 2 A 40 A 1 B 2 B 40 B 第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有 4040=1600 条线 10 在一个 66 的方格棋盘中， 将若干个 11 的小方格染成红色 如果随意划掉 3 行 3 列， 在剩下的小方格中必定有一个是红色的那么最少要涂多少个方格? 【分析与解】方法一 ： 显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图 A 所示，但是在图 B 中，划去 3 行 3 列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红 色(依据对称性，应将 2 个方格同时涂成红色)，如图 C 所示，但是图 D 的划法，又使剩下的 方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色(还是由于对称的缘故，将 2 个方格涂成红色)， 得到图 E，图 E 不管怎么划去 3
