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1、1 阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆及其应用 数学理论数学理论 1.“阿波罗尼斯圆”“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足当BA,P, PB PA 且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。01P （时点的轨迹是线段的中垂线）1PAB 2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 定理 ：为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为定理 ：为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为BA,QP,AB) 1(PQ 直径的圆上任意点到两点的距离之比为直径的圆上任意点到两点的距离之比为OBA,. 证 （以为例）1 设，则 QB AQ PB AP aAB,
2、. 1 , 1 , 1 , 1 a BQ a AQ a PB a AP 由相交弦定理及勾股定理知 , 1 , 1 2 22 222 2 2 2 a BCABAC a BQPBBC 于是, 1 , 1 22 a AC a BC. BC AC 而同时在到两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是CQP,BA, 唯一的，因此，圆上任意一点到两点的距离之比恒为OBA,. 性质性质 1.当时，点在圆内，点在圆外；1BOAO 当时，点在圆内，点在圆外。10AOBO 性质性质 2.因，过是圆的一条切线。AQAPAC 2 ACO 若已知圆及圆 O 外一点，可以作出与之对应的点反之亦然。OA,B
3、性质性质 3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为 1 2 2 a PQ. 1 2 2 a 性质性质 4.过点作圆的切线为切点） ，则分别为的内、外角平分线。AOCAC(CQCP,ACB 性质性质 5.过点作圆不与重合的弦则平分BOCD,EFAB.EAF 2 数学应用数学应用 1.（03 北京春季）设为两定点，动点到点的距离与到点的距)0)(0 ,(),0 ,(ccBcAPAB 离之比为定值求点的轨迹.),0( aaP 2.（05 江苏）圆和圆的半径都是 1，过动点分别作圆和圆的切线 1 O 2 O4 21 OOP 1 O 2 O 分别为切点） ，使得，试建立适当坐标系，求动点的轨迹NMPNP
4、M,(,PNPM2P 方程. 3.（06 四川）已知两定点如果动点满足，则点的轨迹所).0 , 1 (),0 , 2(BA PPBPA2P 围成的图形的面积是_. 4.(08 江苏)满足条件的面积的最大值是_.BCACAB2, 2ABC 5.在等腰中，是腰上的中线， 且则面积的最大ABCBDACAB,AC, 3BDABC 值是_. 3 6.已知是圆上任意一点，问在平面上是否存在一点，使PA),0 , 2(16)4( : 22 yxCB 得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.? 2 1 PB PA B 变式：已知圆，问在轴上是否存在点和点，使得对于圆上16)4( : 22 yxCxABC 任意一点，都有若存在，求出坐标；若不存在，说明理由.P? 2 1 PB PA BA, 7.在中，是的平分线，且ABCADACAB,2A.kACAD （1）求的取值范围；k （2）若的面积为 1，求为何值时，最短.ABCkBC
