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1、高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；、定理 若, 则(加减运算) (乘法运算) (除法运算) 推论1: (为正整数) 推论2: 结论1:结论2: 是基本初等函数，其定义区间为D，若，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；定义1: 若或（）则称是当 (或)时的无穷小. 定义2: 是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若, 则称与是等价无穷小, 记为. 性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理) 设, 且存在, 则. (
2、因式替换原则)常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；准则I(夹逼准则)若数列(n=1,2,)满足下列条件: (1);(2),则数列的极限存在, 且.准则II: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。 5、利用洛必达法则。 未定式为类型. 定理(时的型): 设(1);(2) 在某内, 及都存在且; 二、求导数和微分 ：1.定义导数：函数在处的导数：函数在区间I上的导函数：函数的微分：2.导数运算法则（须记住P140导数公式） 函数和差积商求导法则：函数、可导，则：反函数求导法则：若的导数存在且，则反函数的导数也存在且为 复合函数求导法则(链式法则)：可导，可导，则可导，且隐
3、函数求导法则: 参数方程求导法则: 若则.3.微分运算法则三、求积分： 1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。性质1：性质2： 性质3：性质4： (去绝对值, 分段函数积分)性质5：2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；第一换元法(凑微分)： 第二换元法： 分部积分法：分部化简 ;循环解出;递推公式有理函数积分：混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数牛顿莱布尼茨公式：定积分换元法： （换元换限，配元(凑微)不换限） 定积分分部积分法：结论(偶倍奇零)： 若函数为偶函数，则。若函数为奇函数，则 注意:1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2. 定积
4、分几何意义求一些特殊的积分(如) 变限积分求导四、微分和积分的应用1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形 判断单调性：第一步：找使 的点和不可导点。 第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论的正负，函数递增，函数递减。 判断凹凸性：第一步：找使的点和不可导点。 第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论的正负， ，是凹区间，是凸区间。（拐点：左右两边的符号相反） 判断函数极值：第一步：找使 的点和不可导点。 第二步：判断这些点两边的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。2.1 定积分的几何应用-求面积，体积和弧长 y=f上(x)y=f下(x)Ox y
5、ab 所求图形的面积为： y y+dydOx ycy所求图形的面积为：旋转体：由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a 、x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 Oxba yy 旋转体：由连续曲线 、直线 y=c 、y=d 及 y轴所围曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体 2.3 定积分的物理应用 变力沿直线做功；水(侧)压力；引力 思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x)，在x, x+dx上给出微元第六 空间解析几何1. 向量在坐标轴上的投影分别为：；在坐标轴上的分量分别为：。，2. 利用坐标作向量的线性运算 ， ，数量积(数):向量积(向量) ，且 ，构成右手系， (
6、几何意义: 平行四边形的面积)3向量之间的关系 4平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。点法式方程：设平面过点法向量(其中不全为0), 则平面的方程为一般方程： 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于 x 轴的平面;Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面;Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面设平面1的法向量为，平面2的法向量为，则两平面夹角q 的余弦为：。平面外一点到平面的距离：5空间直线及其方程 一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：方向向量: 点向式方程方向向量: 参数方程 (求交点)小结: 通过向量的点积和叉积，将对平面和直线的研究转化为法向量和方向向量的研究.16
