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1、 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 统计概率知识点梳理总结统计概率知识点梳理总结 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 一、教学要求教学要求 1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与 运算 掌握事件之间的关系与 运算 2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运 用这些公式进行概率计算 概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运 用这些公式进行概率计算 4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进
2、行概率计算独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算 5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率 计算有关事件的概率 二项概率 计算有关事件的概率 本章重点：随机事件的概率计算本章重点：随机事件的概率计算 二、知识要点知识要点 1随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间， 用表示， 其中的每一个结果用e 表示，e称为样本空间中的样本点，记作 e 2随
3、机事件 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现 某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作)与不可能事件 (记作) 看作特殊的随机事件 3*事件的关系及运算事件的关系及运算 (1) 包含包含 ： 若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记 作AB(或BA) (2) 相等相等：若两事件A与B相互包含，即AB且BA，那么，称事件A与B 相等，记作AB (3) 和事件和事件 ： “事件 A 与事件 B 中至少有一个发生” 这一事件称为 A 与 B 的和事件， 记作AB；“n
4、个事件 1,2, , n AAA 中至少有一事件发生”这一事件称为 1,2, , n AAA 的和，记作 12n AAA （简记为1 n i i A ） (4) 积事件积事件：“事件 A 与事件 B 同时发生”这一事件称为 A 与 B 的积事件，记作 AB(简记为AB)；“n 个事件 1,2, , n AAA 同时发生”这一事件称为 1,2, , n AAA 的积事件，记作 12n AAA （简记为 12n A AA 或1 n i i A ) (5) 互不相容互不相容：若事件 A 和 B 不能同时发生，即AB ，那么称事件 A 与 B 互不 相容(或互斥)， 若n个事件 1,2, , n AA
5、A 中任意两个事件不能同时发生， 即 ij A A (1ij几)，那么，称事件 1,2, , n AAA 互不相容 (6) 对立事件对立事件：若事件 A 和 B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB 且 AB ，那么，称 A 与 B 是对立的事件 A 的对立事件(或逆事件)记作A 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 (7) 差事件差事件：若事件 A 发生且事件 B 不发生，那么，称这个事件为事件 A 与 B 的 差事件，记作AB(或AB) (8) 交换律交换律：对任意两个事件和 B 有 ABBA，ABBA (9) 结合律结合律：对任意事件 A，B，C 有 ()()ABCAB
6、C ， ()()ABCABC (10) 分配律分配律：对任意事件 A，B，C 有 ()()()ABCABAC ， ()()()ABCABAC (11) 德德摩根（摩根（De Morgan）法则）法则：对任意事件 A 和 B 有 ABAB, ABAB. 4频率与概率的定义 (1) 频率的定义 设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 A n 次，则比值 A n n 称为随机事件 A 发生 的频率，记作 ( ) n fA ，即 ( ) A n n fA n . (2) 概率的统计定义 在进行大量重复试验中， 随机事件 A 发生的频率具有稳定性， 即当试验次数 n 很大 时，频率 ( ) n fA
7、 在一个稳定的值 p(0p1)附近摆动，规定事件 A 发生的频率的稳定值 p为概率，即( )P Ap (3) *古典概率的定义古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型古典概型： 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 (i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作 12 , n e ee ; (ii) 在每次试验中，每个样本点 i e ( 1,2,in ）出现的概率相同，即 12 ( )( )( ) n P eP eP e 在古典概型中，规定事件 A 的概率为 ( ) A nA P A n 中所含样本点的个数 中所含样本点的个数 (4)几何概率的定义 如果随机试
8、验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、 平面或空间中的区域)， 且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为 ( ) A P A 的长度（或面积、体积） 样本空间的的长度（或面积、体积） (5)概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为，随机事件 A 是的子集， ( )P A 是实值函数，若满足 下列三条公理： 公理 1 (非负性) 对于任一随机事件，有 ( )P A 0； 公理 2 (规范性) 对于必然事件，有 ( )1P ； 公理 3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件 1,2, , n A AA，有 11 ()() ii ii PAP A ， 则称 ( )P
9、A 为随机事件的概率 5*概率的性质概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 (1) ( )0P (2) (有限可加性) 设 n 个事件 1,2, , n A AA 两两互不相容，则有 12 1 ()() n ni i P AAAP A (3) 对于任意一个事件 A： ( )1( )P AP A (4) 若事件 A，B 满足AB，则有 ()( )( )P BAP BP A , ( )( )P AP B (5) 对于任意一个事件 A，有 ( )1P A (6) (加法公式) 对于任意两个事件 A，B，有 ()( )( )()P
10、ABP AP BP AB . 对于任意 n 个事件 1,2, , n A AA ，有 1 1 1111 ()()()()( 1)() nn n iiijijkn iij nij k ni PAP AP A AP A A AP AA . 6*条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 设 A 与 B 是两个事件在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率称为条件概率， 记作 (|)P A B 当 ( )0P B ，规定 () (|) ( ) P AB P A B P B . 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 乘法公式：对于任意两个事件 A 与
11、 B，当 ( )0P A , ( )0P B 时，有 ()( ) (|)( ) (|)P ABP A P B AP B P A B . 7*随机事件的相互独立性随机事件的相互独立性 如果事件 A 与 B 满足 ()( ) ( )P ABP A P B ， 那么，称事件 A 与 B 相互独立 关于事件 A，月的独立性有下列两条性质： (1) 如果 ( )0P A ， 那么， 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 (|)( )P B AP B ； 如果 ( )0P B ，那么，事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 (|)( )P A BP A 这条性质的直观意义是“事件 A 与 B 发
12、生与否互不影响” (2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件 A 与 B 相互独立； (ii) 事件 A 与B相互独立； (iii) 事件A与 B 相互独立； (iv) 事件A与B相互独立 对于任意 n 个事件 1,2, , n A AA 相互独立性定义如下：对任意一个 2,kn ，任意的 1 1 k iin ，若事件 1,2, , n A AA 总满足 11 ()()() kk iiii P AAP AP A ， 则称事件 1,2, , n A AA 相互独立这里实际上包含了2 1 n n 个等式 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 8*贝努里概型与二项概率贝努里概型与二项
13、概率 设在每次试验中，随机事件发生的概率 ( )(01)P App ，则在 n 次重复独立 试验中，事件恰发生k次的概率为 ( )(1),0,1, kn k n n P kppkn k ， 称这组概率为二项概率 9*全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：如果事件 1,2, , n A AA 两两互不相容，且1 n i i A ， ()0 i P A ， 1,2,in ，则 1 () (|) (|),1,2, () (|) kk kn ii i P A P B A P ABkn P A P B A 第二章第二章 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 一、教学要求教学要
14、求 1理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握 0-1 分布、二项分 布、泊松 分布、二项分 布、泊松(Poisson)分布、均匀分布分布、均匀分布、几何分布及其应用 理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计 算有关事件的概率 理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4掌握离散型随机变量独立的条件 5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算 二、知识要点知识要点 1一维随机变量 若对于
15、随机试验的样本空间中的每个试验结果e，变量X都有一个确定的实数值 与e相对应，即 ( )XX e ，则称X是一个一维随机变量 概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布 2*离散型随机变量及其概率函数离散型随机变量及其概率函数 如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量 设离散型随机变量X的可能取值为 (1,2, ,) i a in ， (),1,2, ,. ii pP Xain 若 1 1 i i p ，则称 (1,2, ,) i p in 离散型随机变量X的概率函数，概率函数也可用 下列表格形式表示： X 12n aaa r P 12n ppp *概率函数的性质概率函数的性质 (1) 0 i p ， 1,2, ,;in (2) 1 1 i i p 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 由已知的概率函数可以算得概率 () i i aS P XSp ， 其中，S是实数轴上的一个集合 *常用离散型随机变量的分布常用离散型随机变量的分布 (1)01 分布分布 (1, )Bp ，它的概
