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1、内容串讲 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1 事件的关系与运算 事件的关系与运算 必然事件：必然事件：随机试验全部结果构成的集合。 不可能事件：不可能事件： 一般事件一般事件 A：A 若 A、B 为两事件 若，则其蕴含：“A 发生导致 B 发生” 。BA 若，这表示 A 发生时，B 必不发生，反之亦然。BAAB 若 A-B=A，则 AB=； 若 AB=A，则；BA 若 ABA，则 BA。 若为 n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如 n AAA, 21 等等。 1111 , nnn i iii iiii AAAA 例例 1 事件发生等于“至少有 1 个发生” 。 n i
2、i A 1 n AAA, 21 2常用概率公式常用概率公式 （1），1)(APO1)(P0)(P （2）若，则BA )()(BPAP （3）；当，则)()()()(ABPBPAPBAPAB)()()(BPAPBAP )()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP （4）)(1)(APAP （5）)()()(ABPAPBAP （6）若两两互不相容，则 n AAA, 21 n i i n i i APAP 11 )()( （7）若相互独立，则 n AAA, 21 )()()()( 21 1 n n i i APAPAPAP )()()()(21 1 n n i iA
3、PAPAPAP 例例 2 设1 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(ABPBPAP 则5 . 0)()()(1)(1)(ABPBPAPBAPBAP 1 . 0)()()()(ABPAPBAPBAP 3古典概型古典概型 古典概型：古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件 A 的概率为 的样本点个数 的样本点个数 A n r AP)( 例例 3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设 A： 取到两个白球 ； B： 一白一红球，求)(),(BPAP （1）无放回抽样： 10 1 )( 2 5 2 2 C C AP 5 3 )( 2 5 1 3 1 2 C
4、CC BP （2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次 2 ) 5 2 ()(AP 1 2 23 ( )( )( ) 55 P BC 注：注：若设 X 为两次有放回取球中取到白球数，则，从而X) 5 2 , 2(B 121 2 2 ) 5 2 1 () 5 2 ()2()( CXPAP 4条件概率4条件概率 （1）若，则，其中 A 为任一事件。0)(BP )( )( )( BP ABP BAP （2）乘法公式：)()()(ABPAPABP )()(BAPBP （其中）)()()()(ABCPABPAPABCP0)(ABP 例 4 例 4 箱中有两白球、三红球，表第 次取到白球，则 i Ai
5、 P（“前两次取到白球” ） 10 1 4 1 5 2 )()()( 12121 AAPAPAAP P（“第一次取到白球，第二次取到红球” ） 10 3 4 3 5 2 )()()( 1 2 1 2 1 AAPAPAAP （3） 全概率公式 ： 设是一完备事件组 （或的一个划分） ， 即 ：，（即 n BBB, 21 jiB Bnjiji, 2 , 1, 诸互不相容）且，则对任一事件 A 有 i B n i i B 1 )()()( 1 i n i i BPBAPAP （4）Bayes 公式 n i ii KK K BAPBP BAPBP ABP 1 )()( )()( )( 例例 5 某工厂
6、生产的产品以 100 个为一批， 在进行抽样检查时， 只从每批中抽取 10 个来检查， 如果发现其中有次品， 则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过 4 个，并且恰有个次品的概率如下)4 , 3 , 2 , 1( ii （1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有 i 个次品的概率。)4 , 3 , 2 , 1( i 解：解：（1）设事件是恰有 个次品的一批产品，则由题设 i Bi)4 , 3 , 2 , 1( i 1 . 0)(, 2 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(, 1 . 0)( 43210 BPBPBPBPBP 设事件 A 是这批产品通过
7、检查，即抽样检查的 10 个产品都是合格品，则我们有1)( 0 BAP 900 . 0 )( 10 100 10 99 1 C C BAP 809 . 0 /)( 10 100 10 982 CCBAP 727 . 0 /)( 10 100 10 973 CCBAP 652 . 0 /)( 10 100 10 964 CCBAP 由全概率公式，即得8142 . 0 )()()( 4 0 i ii BAPBPAP （2）由 Bayes 公式，所求概率分别为 123 . 0 8142 . 0 11 . 0 )( 0 ABP 221 . 0 8142 . 0 9 . 02 . 0 )( 1 ABP
8、397 . 0 8142 . 0 809 . 0 4 . 0 )( 2 ABP 179 . 0 8142 . 0 727 . 0 2 . 0 )( 3 ABP 080 . 0 8142 . 0 652 . 0 1 . 0 )( 4 ABP 5事件的独立性事件的独立性 （1）定义：A、B 相互独立等价于)()()(BPAPBAP （2）若相互独立，则有 n AAA, 21 )()()()( 2121nn APAPAPAAAP （3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。 例例 6 袋中有 3 白球，2 个红球，今有放回的抽取 3 次，求先后抽到（白、红、白）的概率 解：解：设表第 次抽到的白球，则所
9、求为 i Ai 125 27 5 3 5 2 5 3 )()()()( 3 2 13 2 1 APAPAPAAAP （4）在 n 重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件 A 发生的概率为，即，则事件 A) 10()(ppAP 发生 K 次的概率为nkppCkP knk k nn , 2 , 1 , 0,)1 ()( 例例 7 一射手对同一目标独立射击 4 次，每次射击的命中率为 0.8，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命 中一次的概率。 解：解：由于每次射击相互独立，故本题可视为的贝努利试验，其中4n8 . 0p （1）设：“4 次射击恰命中两次” ，则 2 A1536
10、. 0 )2 . 0()8 . 0()2()( 22 2 442 CPAP （2）设 B：“4 次射击中至少命中一次” ，表“4 次皆未命中” ，则 0 A 9984 . 0 )2 . 0()8 . 0(1)0(1)(1)()( 40 0 440 0CPAPAPBP 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1 离散型随机变量 离散型随机变量 ()0 1 kK K K P Xxp p 例例 1 设，则3 . 02 . 05 . 01c 2常见离散型随机变量常见离散型随机变量 （1）01 分布：设，则X), 1 (pB 应用背景：应用背景：一次抽样中，某事件 A 发生的次数，其中X
11、), 1 (pBEXXPAPp) 1()( 例 2 例 2 设某射手的命中率为 p，X 为其一次射击中击中目标的次数，则 X), 1 (pB （2）二项分布：设 X，则),(pnB()(1),0,1,2, kkn k n P XkCppkn 应用背景：应用背景：n 次独立重复抽样中某事件 A 发生的次数 X，其中为事件 A 在一次抽样中发生的),(pnB( )pP A 概率。 例 例 某 射 手 的 命 中 率 为 0.8， X 为 其 5 次 射 击 中 命 中 目 标 的 次 数 ， 则 X 取 的 可 能 值 为，5 , 1 , 0 ，即 X 5 2 ()0.80.2 kkk P XkC
12、 )8 . 0 , 5(B 记住：记住：若 X，则,),(pnBnpEX )1 (pnpDX （3）泊松（Poisson）分布 若则称 X 服从参数的泊松分布，且，记 X，(),0,1,2, ! K P Xkek k DXEX)(B0 应用背景：应用背景：偶然性事件发生的次数 X 一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。 另外，当 Y，且 n 很大，P 很小时，令，则),(pnBnp() ! k P Yke k 例 4例 4 一个工厂生产的产品中的次品率 0.005，任取 1000 件，计算 解：解：设 X 表任取的 1000 件产品中的次品数，则 X，由于 n 很
13、大，p 很小，令)005 . 0 ,100(B5 np 则（1） 5555 1 5 0 6151 ! 1 5 ! 0 5 1) 1()0(1)2( eeeeeXPXPXP （2） 5 5 0 5 (5) ! k k P Xe k 3随机变量的分布函数：随机变量的分布函数：X 的分布函数为的分布函数为 ，)()(xXPXFx 的性质：)(xF1)(0 xF 若，则 21 xx 0)()( 12 xFxF 1)(, 0)(FF ，)()(bFbXP)(1)(),()()(bFbXPafbFbXaP 例例 5 设 X 的分布函数，其中，则b=_. 0, 0 0, )( x xbea xF x 0_a
14、 解：解：由知（因为）1)(F1aabeaF x x )(lim)( 由，及题设时，故0)(F0 x0)(xF0)1 ()()(lim 0 bbeaxF x x 综上有，即 0, 0 0,1 )( x xe xF x 1, 1ba 例例 6 设 X 的分布函数 ex exx x xF , 1 1,ln 1, 0 )( 求求)5 . 22(),30(),2(XPXPXP 解：解：2ln)2()2(FXP 101)0()3()30(FFXP 25 . 1 ln2ln5 . 2ln)2()5 . 2()5 . 22(FFXP 4 连续型随机变量 连续型随机变量 若，其中任意，则称 X 为连续型随机变
15、量。( , )( ) b a P Xa bf x dxba 此时，； x duufxF)()()()(xFxf 其中 为 X 的概率密度，满足（注意与分布律的性质：相对照）)(xf 1)( 0)( dxxf xf K K K P P 1 0 例例 7 设 X 的概率密度为，则 c=_ 1, 0 1, )( x xc xf 解：解：由知，故 1)(dxxf 1 1 12ccdx 2 1 c 5常见连续型随机变量常见连续型随机变量 （1）均匀分布：设 X，则，),(baU 其他, 0 , 1 )( bxa abxf bx bxa ab ax ax xF , 1 , , 0 )( ， 2 ba EX 12 )( 2 ab DX 例 8 例 8 设 X，且，则 a=_),(aaU 3 1 ) 1(XP 解：解：易知且，即 解得1a a dxxf 1 3 1 )( a dx a 1 3 1 2 1 3a （2）指数分布设，则，)(EX)(E 0, 0 0, )( x xe xf x 0, 0 0,1 )( x xe xF x ， 1 EX 2 1 DX 应用背景：应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。 例 9例 9 设 X 为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用 t 时，仍能正常工作的概率（设 X
